Факультативний курс «ТЕОРІЯ ЧИСЕЛ»

ОРІЄНТОВНЕ календарно-тематичне планування

факультативного курсу «ТЕОРІЯ ЧИСЕЛ»

«ТЕОРІЯ ЧИСЕЛ»

9-10 класи

 (35 годин на рік)

(1 ГОД НА ТИЖДЕНЬ  - 1 СЕМЕСТР (16 тижнів 16 годин),

1 ГОД НА ТИЖДЕНЬ - 2 СЕМЕСТР(19 тижнів 19 годин))

Заняття проводяться в кабінеті 34 кожної середи з 14.45 до 15.45

№	ТЕМА, ЗМІСТ ЗАНЯТЬ, ПРАКТИЧНІ РОБОТИ	ГОДИН	ДАТА
	1.      ВСТУП В ТЕОРІЮ ЧИСЕЛ	2
1	Вступ. Числові множини. Аксіоми Пеано. Поняття парності і непарності. Упорядковані множини. Властивості упорядкованих множин.	1	02.09
2	Аксіома математичної індукції. Метод математичної індукції. Доведення методом математичної індукції. Обчислення сум натуральних степенів за допомогою формул: 2+4+6+..+ 2k = k(k+1)   (сума перших парних натуральних чисел); 1+3+5+..+ 2k -1 = k2   (сума перших непарних натуральних чисел); 1+2+3+4+..+ k= 0,5k (k+1)  (сума перших парних натуральних чисел); 12+22+32+42+..+ k2 = k(k+1)(2k+1):6    (сума квадратів перших натуральних чисел); 1∙2 + 3∙2 + 3∙4 + 4∙5 + 5∙6 + … + k(k+1) = k(k+1)(2+k):3    ; 13+23+33+43+..+ к3 = k2(k+1) 2:4     (сума кубів перших натуральних чисел);	1	08.09
	2. МНОЖИНА НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ	4
3	Означення простого та складеного числа, їх влас­тивості. Критерій простого числа. Множина простих чисел. Решето Колмогорова. Решето Сундарама. Дії з натуральними числами: степінь, факторіал.  Ознаки подільності натуральних чисел на 6, 7, 8, 11, 13, 17. числа. Теорема Евкліда про кількість простих чисел.	1	15.09
4	Розклад натурального числа на прості множники.  Формула кількості дільників натурального числа. Властивості парності та непарності чисел в сумах натуральних чисел. Теорема про ділення з остачею.  Ознаки подільності натуральних чисел. Властивості подільності. Основна теорема ариф­ме­тики ці­лих чисел про існування та єдиність розкладу на­ту­рального числа на прос­ті множники. За­галь­ний вигляд довільного дільника числа.	1	22.09
5	Найбільший спільник дільник натуральних чисел.  Означення, існування, основні властивості НСД. Алгоритм Евкліда для знаходження НСД.   Способи утворення магічних трикутників на сумах та добутках.	1	29.09
6	Найменше спільне кратне натуральних чисел.  Означення, існування, основні властивості НСК. Алгоритм знаходження НСК. Способи утворення магічних квадратів на сумах та добутках.	1	06.10
	3. МНОЖИНА ЦІЛИХ ЧИСЕЛ	4
7	Множина недодатних чисел. Правила порівняння цілих чисел. Числова пряма. Графічне позначення подвійної нерівність на множинні цілих чисел. Множина цілих чисел, що задані формулами: аb(а ± b)=2k; аb(а4 –b4)=30k ;  n5 –n =5k;  n7 –n =7k;    n2 + m2 + r2+1=8k; (2k+1)2 –(2n-1)2 =8k; n(n+1)= 2k, тобто, добуток двох послідовних цілих чисел завжди парне число; (n+2)(n+1)n = 3k, тобто, добуток трьох послідовних цілих чисел завжди ділиться на 3 націло; (n-1)n(n+1) = 6k, тобто, добуток трьох послідовних цілих чисел завжди ділиться на 6 націло; (n-1)n(n+1)(n+2) = 6k тобто, добуток трьох послідовних цілих чисел завжди ділиться на 6 націло; (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) = 2∙3∙4∙5k=120k.	1	13.10
8	Лінійні діофантові рівняння з однією змінною kx=m. Аналітичні та графічні способи розв’язання лінійних діофантових рівнянь.	1	20.10
9	Лінійне діофантове рівняння з двома змінними  kx+my=n. Умова існування    розв’язків. Аналітичні та графічні способи розв’язання лінійних діофантових рівнянь з двома змінними. Властивості множини розв’язків лінійного діофантового рівняння  kx+my=n.  Поняття арифметичної прогресії	1	03.11
10	Способи розв’язування цифрових рівнянь в десятковій системі числення. Фігурні числа: трикутні, чотирикутні, п’ятикутні, шестикутні числа.	1	10.11
	4. ТЕОРІЯ  ЛИШКІВ. КОНГРЕНЦІЇ.	22
11	Розбиття множини цілих чисел на класи за цілим модулем. Поняття класу лишків для цілого числа. Табличний спосіб запису класів лишків цілого числа за модулем 6 та за модулем  9.  Властивості запису  простих чисел. Починаючи з 5, усі прості числа можуть бути  подані у  вигляді 6k-1 та 6k+1,  якщо k  – натуральне  число. Будь-яке натуральне число когруентне сумі своїх цифр у десятковій системі числення за модулем 9.	1	17.11
12	Поняття конгруенцій. Основні властивості конгруенцій. Китайська теорема про остачі: Якщо цілі числа m1, m2, m3, m4 , … , mk , то для довільних цілих чисел а1, а2, а3, а4 , … , аk існує ціле число х, яке задовольняє умови х º аі (mod mі), де i=1,k,  При цьому число х можна вважати числом, яке належить довільному наперед заданому півінтервалу довжиною, дорівнює добутку  m1∙m2∙m3∙m4∙ … ∙mk. 1)Якщо одна частина конгруенції і модуль діляться на яке-небудь ціле число, то й друга частина конгруенції повинна ділитись на це число. 2)Якщо в многочлені f(х1 х2,..., хn) від n цілих величин х1 х2,..., хn з цілими коефіцієнтами ці величини і коефіцієнти замінити конгруентними з ними величинами і числами за модулем m, то в результаті дістанемо новий многочлен, конгруентний з попереднім за тим самим модулем m.	1	24.11
13	Степеневі лишки.  Таблиця лишків за модулем 10 та 100 для натуральних степенів. Квадратні лишки - остачі при діленні квадратів на натуральні числа. Кубічні лишки - остачі при діленні кубів на натуральні числа. Остачі при діленні четвертих степенів на натуральні числа. Остачі при діленні п’ятих степенів на натуральні числа.  Можливі тільки такі степеневі двоцифрові лишки  для довільних степенів будь-яких цифр: 00, 01,  02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 12,16, 21,23, 24, 25, 27, 28, 29, 32, 36, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 52,56, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 72,76, 81,83,  84, 88, 89, 92, 96.	1	1.12
14	Мала теорема Ферма. Для простого числа р виконується конгруенція  ар-1º1(mod р)  або  арºа(mod р). Використання теореми Ферма для обчислення лишків у виразів nm  за простим модулем k. Складання таблиці остач х2+у2 за модулем 7.	1	08.12
15	Функція Ейлера. Формули обчислення функції Ейлера. Теорема Ейлера. Функція кількості взаємно простих чисел для натурального числа n називається функцією Ейлера j(n), для неї виконується конгруенція  aj(n)º1(mod n). Використання теореми Ейлера для знаходження лишків у виразів  nm +ab +рq за модулем k. Критерій простоти цілого числа. Теорема Вільсона:  Если р-простое число, то имеет место сравнение (р-1)!+1≡0(modp).	1	15.12
16	Однорідне квадратне діофантове рівняння з двома змінними виду ах2+bxy+cy2=0. Формула розкладу на множники: ах2+bxy+cy2=а(х-k1y)(x-k2y), де k1, k2 –розв’язки квадратного рівняння  аk2+bk+c=0.	1	22.12
17	Повні квадратні діофантові рівняння з двома змінними виду ах2+bxy+cy2 + dx+fy+e=0.  Зведення до виду суми повних квадратів  (m1х-k1y)2+ (m2y-k2)2 + (m3x-k3)2  = n. Побудова таблиці цілих значень для (m1х-k1y)2+ (m2y-k2)2 + (m3x-k3)2.	1	29.12
18	Розв’язування діофантових рівнянь другого степеня з двома змінними виду a(m1х-k1y)2+ b(m1х-k1у) + c = 0.	1	12.01
19	Рівняння Піфагора  a2+b2=c2. Таблиця піфагорових трійок.  У прямокутному трикутнику сторони можуть виражатися натуральними числами за формулами:  а = m2 – n2;  b = 2mn; c = m2 + n2 .   Властивості піфагорових трійок.	1	19.01
20	Рівняння Герона. S2=p(p-a)(p-b)(p-c). Геронові трійки.   a=n(m2+k2),   b=m(m2+k2), c = (m+n)(mn-k2), НСК( k,m,n)=1. p=mn(m+m), S=kmn(m+n)(mn-k2).	1	26.01
21	Магічні трикутники на сумах та добутках цілих чисел. Способи переходи від магічних трикутників на сумах до магічних трикутників на добутках.	1	2.02
22	Магічні квадрати на сумах та добутках цілих чисел. Способи переходи від магічних квадратів на сумах до магічних квадратів на добутках.	1	9.02
23	Інваріанти  для степенів натуральних чисел. Рівняння з довільними натуральними показниками та парним  модулем xm º yn º…º zk (mod 2р)  має розв’язки в цілих числах  (x;y;…,z), де всі числа, що входять до розв’язку однакової парності. Не існує такого степеня непарного числа, результат якого  мав би непарну цифру в розряді  десятків. Не існує такого степеня,  більшого 2, який можна подати у вигляді  4m±2 Для довільного степеня числа 7, результат  має тільки дві цифри в розряді десятків 0 або 4. Для довільного показника степеня, більшого 1,  з основою 5  результат  має тільки такі дві останні цифри 25, при цьому цифра в розряді сотень завжди парна. Для довільного степеня, більшого 1,  з основою 6   результат  має непарну цифру в розряді десятків і  цифри 6 в розряді одиниць. Пошуково-дослідницька діяльність на знаходження інваріантів для степенів цілих чисел:  (2)4n+2 = 100n + 10a + b,  де а – парна цифра, b = 4. (2)4n = 100n + 10a + b,  де а – непарна цифра, b = 6. 4k+1=(4m+1)n ;  Степінь парного числа кратна 4:   4k=(4m+2)n ;   16q=(4m)n; Парна степінь трійки при діленні на 4 має остачу 1: 4k+1=32n ; Непарна степінь трійки при діленні на 4 має остачу3:4k+3=32n -1; Парна степінь сімки при діленні на 4 має остачу 1:  4k+1=72n ; Непарна степінь сімки при діленні на 4 має остачу 3: 4k+3=72n-1.	1	16.02
24	Число  аn ± 1 складене, якщо число n можна розкласти на прості множники. аn – 1= (a–1)( an-1+аn-2  + аn-3  +… +а2 + а + 1); аn – bn = (a–b)( an-1+ аn-2b + аn-3b2 +… + а2bn-3 + аbn-2 + bn-1); Для непарних n: аn + bn = (a+b)( an-1-аn-2 b + аn-3b2 -… +а2bn-3 - аbn-2 + bn-1); Якщо  b =1, тоді a2n+1 + 1= (a+1)( an-1- аn-2  - аn-3  +… +а2 - а + 1); ТРИКУТНИК ПАСКАЛЯ. Властивості чисел в трикутнику Паскаля. Біноми Ньютона. (a±b)4 = a4±4a3b +6a2b2 ±4ab2 + b4; (a±b)5 = a5±5a4b +10a3b2 ±10a2b3 +5ab4 ± b5; (a±b)6= a6±6a5b +15a4b2 ±20a3b3 +15a2b4 ±6ab5 +b6.	1	23.02
25	Розв’язування  діофантових рівнянь з двома змінними виду: xy + x + y  + а = (х + 1)(y + 1) + а – 1= 0; xy + x + y  + 1= (х + 1)(y + 1) = р; aху + bх + cу + d = (x + c:a)(ау + b) + d – (cb:a) =0.	1	2.03
26	Розв’язування  діофантових рівнянь з двома змінними виду: а3 + b3 + c3 - 3abc = (a+b+c)(a2 + b2 +c2 –аb–bc–ac)= р; (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2аb + 2bc +2ac = р; (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 =3 (a – b)(b – c)(c – a).	1	9.03
27	Розв’язування  діофантових рівнянь з двома змінними виду: a4 + 4 = (a2 – 2a + 2)(a2 + 2a + 2) = р; 4a4 + b4 = (2a2 – 2ab + b2)(2a2 + 2ab + b2) = р; a4 + 4b4 = (2b2 – 2ab + a2)(2b2 + 2ab + a2) = р;	1	16.03
28	Розв’язування  діофантових рівнянь з двома змінними виду: a4 + a2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 – a + 1) = р; а5 + a +1 = (a2 + a + l)(a3 – a2 + 1) = р; a10 + a5 + 1 = (a2 + a + 1)(a8 – a7 + a5 – a4 + a3 – a + 1) = р;	1	23.03
29	Робота над проектом з учнівським портфоліо «Діофантові рівняння»	1	06.04
30	Робота над  проектом з учнівським портфоліо «Діофантові рівняння»	1	13.04
31	Робота над проектом з учнівським портфоліо «Діофантові рівняння»	1	20.04
32	Робота над проектом з учнівським портфоліо «Діофантові рівняння»	1	27.04
	5.ПРАКТИКУМ З СИСТЕМАТИЗАЦІЇ ЗНАНЬ.	3
33	Узагальнення та систематизація знань. Захист учнівських проектів.	1	4.05
34	Узагальнення та систематизація знань. Захист учнівських проектів.	1	11.05
35	Узагальнення та систематизація знань. Захист учнівських проектів.	1	18.05

Наводимо приклади цікавих властивостей многочленів з цілими коефіцієнтами. Спробуйте самостійно осмислити ці властивості, навівши по декілька прикладів, які будуть відповідають умовам  кожної властивості.

Властивість 1.  Довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами приймає тільки непарні значення при будь-яких цілих значеннях змінних, якщо у нього одночасно виконуються умови:

1) многочлен має вільний член, що виражений непарним числом;

2) сума усіх коефіцієнтів  многочлена, без вільного члена, парна.

Властивість 2.  Довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами приймає тільки непарні значення при будь-яких цілих значеннях змінних, якщо у нього кількість непарних коефіцієнтів  многочлена, із вільним членом, непарна.

Властивість 3.   Довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами немає цілих коренів, якщо у нього одночасно виконуються умови:

1) многочлен має вільний член, що виражений непарним числом;

2) сума усіх коефіцієнтів  многочлена, окрім вільного члена, парна.

Властивість 4.   Довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами немає натуральних коренів, якщо у нього одночасно виконуються умови:

1) многочлен має вільний член;

1) усі  коефіцієнти  многочлена разом з вільним членом, одного знаку.

Властивість 5.   Довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами має корінь 1, якщо у нього сума усіх коефіцієнтів рівна нулю.

Властивість 6.   Довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами одного знаку має корінь х = -1, якщо у нього сума усіх коефіцієнтів, що стоять при парних степенях змінної, включаючи вільний член, рівна  сумі  усіх коефіцієнтів, що стоять при непарних степенях змінної.

Властивість 7.   Довільний многочлен від однієї змінної з дійсними коефіцієнтами  має хоча б один дійсний корінь, якщо у нього коефіцієнти при найбільшому степені  змінної  і вільний член – це два числа, що мають різні знаки.

Властивість 8.   Довільний многочлен парного степеня(окрім нульового степеня) від однієї змінної з дійсними коефіцієнтами  має хоча б два дійсних корені, якщо у нього коефіцієнти при найбільшому степені  змінної  і вільний член – це два числа, що мають різні знаки.

 при цьому знаки дійсних коренів різні.

Властивість 9.   Довільний многочлен f(x) парного степеня(окрім нульового степеня)  від однієї змінної з дійсними коефіцієнтами  має хоча б один дійсний корінь, якщо знайдеться таке натуральне n таке, що добуток f(n)f(0)< = 0. 

Властивість 10.  Якщо довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами не приймає  парні значення при будь-яких цілих значеннях змінних, то у нього немає цілих коренів.

Властивість 11.  Якщо довільний парного степеня многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами приймає  значення  тільки одного знаку(або тільки додатні, або тільки від’ємні) при будь-яких цілих значеннях змінних, то у нього немає цілих коренів.

Властивість 12.   Довільний многочлен f(x) будь-якого степеня(окрім нульового степеня)  від однієї змінної з цілими коефіцієнтами  має парним значенням  наступне число f(а) + f(-а) та парне значення:  f(а):а + f(-а):(-а)=0, де а – вільний член многочлена.  Тобто, корнем многочлена

 f(х):х + f(-х):(-х)=0 є вільний член f(x).

Спираючись на відомі властивості цілої раціо­нальної функції, легко встановити відповідні властивості рівнянь, Так, зокрема, число коренів алгебраїчного рівняння, що складається з  многочлена степеня n (якщо кожний корінь лічити стільки разів, яка його кратність) дорівнює n. Справедливими будуть також і формули Вієта, що виражають залежності між коренями та коефіцієнтами алгебраїч­ного рівняння.

Розв'язати алгебраїчне рівняння алгебраїчно означає вирази­ти його корені через коефіцієнти за допомогою шести алгебраїч­них дій (додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня та добування кореня з натуральним показником).

Алгебраїчне рівняння степеня   n

а₀хⁿ + а₁x^n-1 + . . . + а _n-1 х + a_n = 0

з буквеними коефіцієнтами можна розглядати як рівняння

f(х, а_о, а₁, . . ., а_n) = 0

з параметрами а_о, а₁, ..., а_n . Значення параметрів, при яких

f(х, а_о, а₁, . . ., а_n)

має смисл, називаються допустимими.

Розв'язати рівняння з параметрами означає знайти вся його розв'язки для кожної системи допустимих значень параметрів. Якщо не зазначено меж зміни параметрів, то вважається, що вони, набувають всіх своїх допустимих значень. Допустимими значеннями параметрів – коефіцієнтів алгебраїчного рівняння n-го степеня вва­жаються сукупності дійсних або комплексних чисел. Найпростішим з алгебраїчних   рівнянь є рівняння лінійного виду

а_оx + а₁ = 0.

Воно рівносильне рівнянню

x + p₁ = 0, якщо а₀ – ненульове число.

Дещо складнішим є квадратне рівняння

а₀х² +а₁х + а₂ = 0

з параметрами  а_о, а₁, а₂. 

Поділивши   обидві   його частини  на ненульове а_о,

дістанемо:

х² +p₁х + р₂ = 0,

Теорема (Вієтa). Якщо х₁, x₂ — корені зведеного квадратного рівняння

х² + рх + q = 0,

 то маємо: х₁+ x₂ = -р,   х₁∙x₂ = q.

Наслідок 21. Величина х² + рх + q:

·                       додатна, якщо тричлен не має дійсних коренів або значення аргументу х більше, ніж більший корінь, чи менше, ніж мен­ший корінь цього тричлена;

·                       від'ємна, якщо тричлен має дійсні корені, а значення аргумен­ту х лежить в інтервалі між ними.

Наслідок. Залежність від  р і q розташування коренів  х₁, x₂ тричле­на

 х² + рх + q

відносно нуля за умови існування коренів р² - 4q > 0 така:

якщо q > 0, то корені мають один знак, що протилежний до знака р;

якщо q < 0, то корені мають протилежні знаки, а знаки р і меншого за модулем кореня збігаються;

якщо q = 0, то коренями є 0 і - р.

Кубічне рівняння

а_ох³ + а₁х² + а₂х + а₃ = 0

 в загальному  випадку  має три   істотні   параметри,   бо  його можна звести до  вигляду, якщо поділити всі коефіцієнти на ненульове а_о

x³ + p₁x² + p₂x+ p₃ = 0  (1)

Загальне алгебраїчне  рівняння четвертого степеня

а_ох⁴ + а₁х³ + а₂х² + а₃х + а₄ = 0 = 0,

якщо поділити всі коефіцієнти на ненульове а_о, то можна записати  так:

х⁴ +  p₁x³ + p₂x² + p₃x+ р₄ = 0,      (2)

У кожному з розглянутих алгебраїчних рівнянь число істотних параметрів (коефіцієнтів) дорівнює його степеню. Очевидно, будь-яке   алгебраїчне   рівняння   n-го степеня  можна   звести   до   такого вигляду,  якщо поділити всі коефіцієнти на ненульове а_о,

хⁿ + р₁х^n-1 + . . . + р_n-1х + р_n = 0    (3)

Тому максимально можливе в ньому число істотних параметрів до­рівнює n. Якщо в рівнянні (3) всі коефіцієнти (параметри) від­мінні від нуля і незалежні між собою, то його називають загаль­ним зведеним алгебраїчним рівнянням.

Є алгебраїчні рівняння, коефіцієнти яких – певні вирази, що містять інші   параметри 

а_о, а₁, . . ., а_n,

тобто

а_о = q(а_о, а₁, . . ., а_n)

а₁ = v(а_о, а₁, . . ., а_n)

……………………….

a_n = s(а_о, а₁, . . ., а_n).

Наприклад,   у  рівнянні  

x² + (а₁ + а₂)х + а₁а₂ = 0

є такі параметри

f_о = 1

f₁ = а_о+а₁

f₂ = а_оа_1.

У загальному зведеному алгебраїчному рівнянні (3) число параметрів а_о, а₁, . . ., а_n,

не може бути меншим за n, оскільки коефіцієнти р₁, р₂, ..., р_n повинні бути незалежними між собою. Параметри а_о, а₁, . . ., а_n,  будемо   називати  допоміжними.

Якщо алгебраїчне рівняння зведено до вигляду (3), а коефіцієнти р₁, р₂, ..., р_n є залежними, тобто є функціями, то виражають його корені рівняння (3) через його коефіцієнти-функції. Проте значно складнішою буде задача побудови безпосередньо  формул для коренів рівняння (3) за допомогою допоміжних параметрів (якщо, звичайно, такі формули існують). Ідея в найпростіших випадках полягає у тому, що основні параметри рівняння (3) замінюють допоміжними так, щоб корені утвореного рівняння: легко знаходились і виражались через допоміжні параметри, а ті потім від допоміжних параметрів переходять до основних. Цей метод називається методом допоміжних параметрів.