Розв’язати рівняння з двома невідомими х та у на множині
дійсних чисел:
ху=х.
ху=х.
Розв’язання.
ху-х=0;
(ху-1-1)х=0;
х=0; або ху-1-1=0.
Якщо
розглядати два випадки:
1)вважати,що
існує число: 00=1;
2)вважати, що
не існує числа 00.
Для другого
випадку, отримаємо:
(х;у)=(0; а),
де а – не одиничне дійсне число.
(х;у)=(1; а), де а – дійсне число.
Для першого
випадку, отримаємо:
(х;у)=(1; а),
де а – дійсне число
(х;у)=(0; а),
де а – дійсне число
Розглянемо
окремі випадки.
1)Якщо х=1, то зрозуміло, що рівність 1у=1 виконується, якщо у – дійсне число. Маємо розв’язок: (х;у)=(1; а), де а – дійсне число.
1)Якщо х=1, то зрозуміло, що рівність 1у=1 виконується, якщо у – дійсне число. Маємо розв’язок: (х;у)=(1; а), де а – дійсне число.
2)Якщо х=-1,
то зрозуміло, що рівність (-1)у=-1 виконується для окремих
раціональних чисел, а саме, якщо у =(2k-1)/(2n-1) раціональне число, де k-ціле число, n – натуральне число.
Маємо
розв’язок: (х;у)=(-1; (2k-1)/(2n-1)), де k-ціле число, n – натуральне число.
3)Якщо у=-1,
то зрозуміло, що рівність (х)-1=х виконується для дійсних чисел, а
саме, якщо х дійсне ненульове число. Маємо розв’язок: (х;у)=(а; -1), де а>0 або а<0.
4)Якщо у=1, то
зрозуміло, що рівність (х)1=х виконується для всіх дійсних значень х. Маємо розв’язок: (х;у)=(а; 1), де а – дійсне число.
5)Якщо у=0, то
зрозуміло, що рівність (х)0=х виконується для значенння х=1.
Маємо розв’язок: (х;у)=(1; 0), де а – дійсне число.
Маємо розв’язок: (х;у)=(1; 0), де а – дійсне число.
Показникові рівняння
вигляду ax+bx=c
У рівнянні ax+bx=с
невідоме дійсне значення х,
відомі дійсні додатні значення a, b, c.
Дослідження 1.
Виконати заміну,
нехай bx=at,
xlnb=tlna
t = xlnb/lna;
Рівняння змінить вигляд:
ax+at=c
ax+axlnb/lna
=c
Заміна k=ax
k+klnb/lna -c=0
Зауваження.
Взагалі, доцільним є звести початкове рівняння ax+bx=с до рівняння алгебраїчного вигляду
x^α+x-β=0, де α, β додатні дійсні числа,
x^α = β-x, (**)
З останнього рівняння (**) розпочати досліджувати(графічно, аналітично, чисельними методами) наявність додатних дійсних коренів для початкового рівняння, бо фактично початкове та кінцеве рівняння рівносильні з точки зору наявності коренів, а з алгебраїчними все-таки працювати легше.
x^α+x = β,
х(x^(α-1)+1) = β,
(x/β)(x^(α-1)+1) = 1,
Вирази x/β та x^(α-1)+1 - це взаємно обернені дійсні числа.
Якщо x/β =1/m, тоді х= β/m також отримаємо: x^(α-1)+1=m, (β/m)^(α-1)=m-1,
Заміна k=ax
k+klnb/lna -c=0
Зауваження.
Взагалі, доцільним є звести початкове рівняння ax+bx=с до рівняння алгебраїчного вигляду
x^α+x-β=0, де α, β додатні дійсні числа,
x^α = β-x, (**)
З останнього рівняння (**) розпочати досліджувати(графічно, аналітично, чисельними методами) наявність додатних дійсних коренів для початкового рівняння, бо фактично початкове та кінцеве рівняння рівносильні з точки зору наявності коренів, а з алгебраїчними все-таки працювати легше.
x^α+x = β,
х(x^(α-1)+1) = β,
(x/β)(x^(α-1)+1) = 1,
Вирази x/β та x^(α-1)+1 - це взаємно обернені дійсні числа.
Якщо x/β =1/m, тоді х= β/m також отримаємо: x^(α-1)+1=m, (β/m)^(α-1)=m-1,
Винести за дужки множник ax
ax(1+ax(lnb/lna-1))
=c
ax=c/(1+ax(lnb/lna-1))
Показникові рівняння
вигляду ax+bx=cx
У рівнянні ax+bx=cx
невідоме дійсне значення х,
відомі дійсні додатні значення a, b, c.
Дослідження.
Виконати заміну.
1)якщо bx=at, то
xlnb=tlna
t = xlnb/lna;
2)якщо сx=ap, то
xlnc=plna
p = xlnc/lna;
Рівняння змінить вигляд:
ax+at=ap;
ax+at-ap=0;
ax+axlnb/lna
- axlnc/lna =0;
Винести за дужки множник ax
ax(1+ax(lnb/lna-1)- ax(lnc/lna-1)) =0;
ax =0 або 1+ax(lnb/lna-1)- ax(lnc/lna-1) =0;
Якщо виконується умова на додатні дійсні числа a, b, c:
1+ax(lnb/lna-1)=ax(lnc/lna-1) , (***) ( це теж показникове рівняння)
то рівняння має коренів. Вираз ax не рівний нулю для дійсних х.
У рівнянні 1+ax(lnb/lna-1)=ax(lnc/lna-1)
виконати заміну z=ax
1+z(lnb/lna-1)=z(lnc/lna-1) (*)У рівнянні 1+ax(lnb/lna-1)=ax(lnc/lna-1)
виконати заміну z=ax
Якщо алгебраїчне рівняння (*) має додатні дійсні корені z1, ...,zn, тоді,
виконується умова (***) і дійсні корені існують у рівняння ax+bx=cx
Якщо немає ДОДАТНИХ ДІЙСНИХ коренів у рівняння (*), то рівняння
ax+bx=cx
дійсних коренів немає, для a, b, c – додатні дійсні числа.
виконується умова (***) і дійсні корені існують у рівняння ax+bx=cx
Якщо немає ДОДАТНИХ ДІЙСНИХ коренів у рівняння (*), то рівняння
ax+bx=cx
дійсних коренів немає, для a, b, c – додатні дійсні числа.
1)(1/2)x+(1/3)x=0; дійсних розв’язків не має.
2)(1/2)x+(1/3)x=5/6; звідси х=1.
3)(1/2)x+(1/3)x=2; звідси х=0.
4)(1/2)x+(1/3)x=1;
Дослідження 1
Дослідження 1
Комп'ютер дає корінь х=0,78788491102587...
Це рівняння можна звести до степеневого рівняння
з ірраціональним старшим степенем;
але ж відомо, що такі рівняння навіть цілого степеня більше 4
не розв'язуються в радикалах.
Дослідження 2
((1/2)0,5x+(1/3)0,5x)2=
=((1/2)x+2(1/2)0,5x(1/3)0,5x+ (1/3)x)=
=1+2(1/2)0,5x(1/3)0,5x=1+2(1/2)0,5(1/3)0,5(1/6)x
(((1/2)0,5x+(1/3)0,5x)(1/6)-0.5x)2=1+2(1/2)0,5(1/3)0,5
((3)0,5x+(2)0,5x)2=1+2(1/2)0,5(1/3)0,5 (*)
((3)0,5x-(2)0,5x)2=1-2(1/2)0,5(1/3)0,5 (**)
((3)0,5x+(2)0,5x)2((3)0,5x-(2)0,5x)2=
((3)x-(2)x)2=
=(1+2(1/2)0,5(1/3)0,5)(1-2(1/2)0,5(1/3)0,5) =
=1-4*0,5*(1/3)=1-2/3=1/3
Отримаємо систему:
Отримаємо систему:
((3)x-(2)x)2=1/3
((3)x+(2)x)2=1
Розглянемо показниково-степеневе рівняння
Розглянемо показниково-степеневе рівняння
на множині натуральних
числах (x; y; z):
axyyzzx=b (*),
де a, b – натуральні числа.
Розв’язати рівняння
в натуральних числах (x; y; z):
1)
-2018xyyzzx=-48432 (**).
Розв’язання. Виконаємо тотожне перетворення
xyyzzx=-48432:(-2018);
xyyzzx=24 (***).
На множині натуральних
чисел рівність (***) може досягатися або виконуватися , якщо 1<=x<=3,
1<=y<=3, 1<=z<=3, і рівність
(***) не виконується, якщо x>3, y>3, z>3. Розкладемо число 24 на прості множники: 24=2*2*2*3=23*3.
Число 24 має 8 натуралуьних дільників: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24. Розглянемо 8 випадків для одного множника xy:
випадок 1. xy=1; yzzx=24;
випадок 2. xy=2; yzzx=12;
випадок 3. xy=3; yzzx=8;
випадок 4. xy=4; yzzx=6;
випадок 5. xy=6; yzzx=4;
випадок 6. xy=8; yzzx=3;
випадок 7. xy=12; yzzx=2;
випадок 8. xy=24; yzzx=1.
Складемо таблиці значень
для кожного множиника.
|
xy
|
х=1
|
х=2
|
х=3
|
|
у=1
|
xy=11=1
|
xy=21=2
|
xy=31=3
|
|
у=2
|
xy=12=1
|
xy=22=4
|
xy=32=9
|
|
у=3
|
xy=13=1
|
xy=23=8
|
xy=33=27
|
|
yz
|
y=1
|
y=2
|
y=3
|
|
z=1
|
yz
=11=1
|
yz
=21=2
|
yz
=31=3
|
|
z=2
|
yz =12=1
|
yz =22=4
|
yz =32=9
|
|
z=3
|
yz =13=1
|
yz =23=8
|
yz =33=27
|
|
zx
|
z=1
|
z=2
|
z=3
|
|
x=1
|
zx
=11=1
|
zx
=21=2
|
zx
=31=3
|
|
x=2
|
zx =12=1
|
zx =22=4
|
zx =32=9
|
|
x=3
|
zx =13=1
|
zx =23=8
|
zx =33=27
|
Складемо таблиці значень
для добутків двох множиників.
|
zxyz
|
zx=1
|
zx=2
|
zx=3
|
zx=4
|
zx=8
|
|
yz=1
|
zxyz =1
|
zxyz =2
|
zxyz =3
|
zxyz =4
|
zxyz =8
|
|
yz=2
|
zxyz =2
|
zxyz =4
|
zxyz =6
|
zxyz =8
|
16
|
|
yz=3
|
zxyz =3
|
zxyz =6
|
9
|
zxyz =12
|
zxyz =24
|
|
yz=4
|
zxyz =4
|
zxyz =8
|
zxyz =12
|
zxyz =16
|
zxyz =32
|
|
yz=8
|
zxyz =8
|
zxyz =16
|
zxyz =24
|
zxyz =32
|
zxyz =64
|
Складемо таблиці значень
для добутків трьох множиників.
|
xyyzzx
|
xy=1
|
xy=2
|
xy=3
|
xy=4
|
xy=8
|
|
yzzx=1
|
xyyzzx=1
|
xyyzzx=2
|
xyyzzx=3
|
xyyzzx=4
|
xyyzzx=8
|
|
yzzx=2
|
xyyzzx=2
|
xyyzzx=4
|
xyyzzx=6
|
xyyzzx=8
|
xyyzzx=16
|
|
yzzx=3
|
xyyzzx=3
|
xyyzzx=6
|
xyyzzx=9
|
xyyzzx=12
|
xyyzzx=24
|
|
yzzx=4
|
xyyzzx=4
|
xyyzzx=8
|
xyyzzx=12
|
xyyzzx=16
|
xyyzzx=32
|
|
yzzx=6
|
xyyzzx=6
|
xyyzzx=12
|
xyyzzx=18
|
xyyzzx=24
|
xyyzzx=64
|
|
yzzx=8
|
xyyzzx=8
|
xyyzzx=16
|
xyyzzx=24
|
xyyzzx=32
|
xyyzzx=64
|
|
yzzx=12
|
xyyzzx=12
|
xyyzzx=24
|
xyyzzx=36
|
xyyzzx=48
|
xyyzzx=96
|
|
yzzx=24
|
xyyzzx=24
|
xyyzzx=48
|
xyyzzx=72
|
xyyzzx=96
|
xyyzzx=192
|
Відповідь: маємо 6
розв’язків в натуральних числах:
(x;y;z)={ (1;2;3), (2;3;1), (3;1;2), (24;1;1), (1;1;24), (1;24;1)}.
Перевірка:
122331= 24
Завдання для самостійного
опрацювання.
1.Доведіть, що рівняння xyyx=1 має безліч
розвязків (х; у) в цілих числах.
Примітка: Доведіть тотожність: (-2т)2т*(2т)-2т=1
2.Доведіть, що рівняння xyyx=1 має розвязки (2;
-4) (-2; 4) в цілих числах.
3.Розв’язати рівняння в натуральних
числах (x; y):
1)
xyyx=72; 2) xyyx=3; 3) xyyx=4;
4) xyyx=6; 5) xyyx=12; 6) xyyx=18.
4.Розв’язати рівняння в натуральних
числах (x; y; z):
2)
xyyzzx=1; 2) xyyzzx=2; 3) xyyzzx=4;
4) xyyzzx=6; 5) xyyzzx=12; 6) xyyzzx=18.
1