Три формули для трикуктника

Пропонуємо отримати три наступні формули для обчислення невідомої сторони трикутника за двома сторонами: с, b та кутом, що неприлеглий до сторони с.

а=bcosg+(c²-b²sin²g)^0,5

b=аcosg+(c²-а²sin²g)^0,5

с=аcosb+(b²-а²sin²b)^0,5

 Доведення.

Розглянемо теорему косинусів:

c²=a²+b²-2abcosg  |:c²

c²/c²=a²/c²+b²/c²-2(ab/c²)cosg;

         1 =(a/c)²+(b/c)²-2(a/c)(b/c)cosg;

Виконаємо заміну:  x= a/c;  y=b/c;

1 =x²+y²-2xycosg,

якщо х змінити на у, то рівняння з двома невідомими не зміниться, де g - кутовий параметр.

           x² -2xycosg +y² =1

x² –(2ycosg)x+y² -1=0

(квадратне рівняння відносно х або у)

D=4y²cos²g-4y² +4=4y²(cos²g-1) +4;

Якщо D=4-4y²sin²g>=0, тоді

x₁= 0,5(2ycosg-(4-4y²sin²g)^0,5)= ycosg-(1-y²sin²g)^0,5;

x₂= ycosg+(1-y²sin²g)^0,5.

Безліч розв’язків запишемо у вигляді

(z; zcosg-(1-z²sin²g)^0,5)

(z; zcosg+(1-z²sin²g)^0,5), якщо zєR.

Повернення до заміни:  x= a/c;  y=(b/c)

a/c = (b/c)cosg-(1-(b/c)²sin²g)^0,5

a₁  = bcosg-(c²-b²sin²g)^0,5

a₂  = bcosg+(c²-b²sin²g)^0,5

Отже, отримаємо наступні формули для обчислення невідомої сторони трикутника за двома сторонами: с, b та кутом, що неприлеглий до сторони с.

а=bcosg+(c²-b²sin²g)^0,5

b=аcosg+(c²-а²sin²g)^0,5

с=аcosb+(b²-а²sin²b)^0,5