вівторок, 29 травня 2018 р.

Показникові рівняння: х^y=x


Розв’язати рівняння з двома невідомими х та у на множині дійсних чисел:
ху=х.

Розв’язання.
ху-х=0; 
у-1-1)х=0;
х=0; або ху-1-1=0. 
Якщо розглядати два випадки:
1)вважати,що існує число: 00=1; 
2)вважати, що не існує числа 00.
Для другого випадку, отримаємо:
(х;у)=(0; а), де а – не одиничне дійсне число.
 (х;у)=(1; а), де а –  дійсне число.
Для першого випадку, отримаємо:
(х;у)=(1; а), де а –  дійсне число
(х;у)=(0; а), де а –  дійсне число
Розглянемо окремі випадки. 
1)Якщо х=1, то зрозуміло, що рівність 1у=1 виконується, якщо у – дійсне число. Маємо розв’язок: (х;у)=(1; а), де а – дійсне число.
2)Якщо х=-1, то зрозуміло, що рівність (-1)у=-1 виконується для окремих раціональних чисел, а саме, якщо у =(2k-1)/(2n-1) раціональне число, де k-ціле число, n – натуральне число.
Маємо розв’язок: (х;у)=(-1; (2k-1)/(2n-1)), де k-ціле число, n – натуральне число.
3)Якщо у=-1, то зрозуміло, що рівність (х)-1=х виконується для дійсних чисел, а саме, якщо х дійсне ненульове число. Маємо розв’язок: (х;у)=(а; -1), де а>0 або а<0.
4)Якщо у=1, то зрозуміло, що рівність (х)1=х виконується для  всіх дійсних значень х. Маємо розв’язок: (х;у)=(а; 1), де а – дійсне число.
5)Якщо у=0, то зрозуміло, що рівність (х)0=х виконується для  значенння х=1.
 Маємо розв’язок: (х;у)=(1; 0), де а – дійсне число.




Показникові рівняння
вигляду ax+bx=c
У рівнянні ax+bx=с 
невідоме дійсне значення х,
відомі дійсні додатні значення a, b, c.
Дослідження 1.
Виконати заміну,
нехай bx=at,
xlnb=tlna
t = xlnb/lna;
Рівняння змінить вигляд:
ax+at=c
ax+axlnb/lna =c
Заміна  k=ax
k+klnb/lna -c=0
Зауваження. 
Взагалі,  доцільним є звести  початкове рівняння ax+bx=с    до рівняння алгебраїчного вигляду

 x^α+x-β=0, де α, β додатні дійсні числа,

 x^α = β-x,   (**)

 З останнього рівняння (**) розпочати досліджувати(графічно, аналітично, чисельними методами) наявність додатних дійсних коренів для початкового рівняння,   бо фактично початкове та кінцеве рівняння рівносильні з точки зору наявності коренів,  а з алгебраїчними все-таки працювати легше.

x^α+x = β,

х(x^(α-1)+1) = β,

(x/β)(x^(α-1)+1) = 1,

Вирази  x/β  та  x^(α-1)+1 - це взаємно обернені дійсні числа.  

Якщо  x/β =1/m,  тоді   х=  β/m  також  отримаємо:   x^(α-1)+1=m,    (β/m)^(α-1)=m-1,  

Винести за дужки множник  ax
ax(1+ax(lnb/lna-1)) =c
ax=c/(1+ax(lnb/lna-1))




Показникові рівняння
вигляду ax+bx=cx

У рівнянні ax+bx=cx 
невідоме дійсне значення х,
відомі дійсні додатні значення a, b, c.
Дослідження.
Виконати заміну.
1)якщо bx=at,  то
xlnb=tlna
t = xlnb/lna;

2)якщо сx=ap,  то
xlnc=plna
p = xlnc/lna;
Рівняння змінить вигляд:
ax+at=ap;
ax+at-ap=0;
ax+axlnb/lna - axlnc/lna =0;
Винести за дужки множник  ax
ax(1+ax(lnb/lna-1)ax(lnc/lna-1)) =0; 
 ax =0     або    1+ax(lnb/lna-1)ax(lnc/lna-1) =0;

Якщо виконується умова на додатні дійсні числа a, b, c: 
1+ax(lnb/lna-1)=ax(lnc/lna-1) ,   (***) ( це теж показникове рівняння)
то рівняння має  коренів. Вираз aне рівний нулю для дійсних  х.

У рівнянні 1+ax(lnb/lna-1)=ax(lnc/lna-1) 
виконати заміну  z=ax

1+z(lnb/lna-1)=z(lnc/lna-1)                     (*)


Якщо алгебраїчне рівняння (*) має додатні дійсні корені z1, ...,zn, тоді,
 виконується умова (***) і дійсні корені існують у рівняння ax+bx=cx 


Якщо немає ДОДАТНИХ ДІЙСНИХ коренів у рівняння (*), то рівняння
ax+bx=cx 
 дійсних коренів немає, для a, b, c – додатні  дійсні числа.

1)(1/2)x+(1/3)x=0; дійсних розв’язків не має.
2)(1/2)x+(1/3)x=5/6; звідси х=1.
3)(1/2)x+(1/3)x=2; звідси х=0.

4)(1/2)x+(1/3)x=1;
Дослідження 1

Комп'ютер дає корінь х=0,78788491102587...
Це рівняння можна звести до степеневого рівняння 
з ірраціональним старшим степенем; 
але ж відомо, що такі рівняння навіть цілого степеня більше 4 
не розв'язуються в радикалах.

Дослідження 2
((1/2)0,5x+(1/3)0,5x)2=
=((1/2)x+2(1/2)0,5x(1/3)0,5x+ (1/3)x)=
=1+2(1/2)0,5x(1/3)0,5x=1+2(1/2)0,5(1/3)0,5(1/6)x
(((1/2)0,5x+(1/3)0,5x)(1/6)-0.5x)2=1+2(1/2)0,5(1/3)0,5
((3)0,5x+(2)0,5x)2=1+2(1/2)0,5(1/3)0,5 (*)
((3)0,5x-(2)0,5x)2=1-2(1/2)0,5(1/3)0,5  (**)
((3)0,5x+(2)0,5x)2((3)0,5x-(2)0,5x)2=
((3)x-(2)x)2=

=(1+2(1/2)0,5(1/3)0,5)(1-2(1/2)0,5(1/3)0,5) =
=1-4*0,5*(1/3)=1-2/3=1/3
Отримаємо систему:
((3)x-(2)x)2=1/3
((3)x+(2)x)2=1

Розглянемо показниково-степеневе рівняння
на множині натуральних числах (x; y; z):
axyyzzx=b    (*),
де a, b – натуральні числа.

Розв’язати рівняння
в натуральних числах (x; y; z):
1)           -2018xyyzzx=-48432    (**).
Розв’язання.   Виконаємо тотожне перетворення
xyyzzx=-48432:(-2018);
xyyzzx=24   (***).
На множині натуральних чисел рівність (***) може досягатися або виконуватися , якщо 1<=x<=3, 1<=y<=3, 1<=z<=3,  і рівність (***) не виконується, якщо x>3, y>3, z>3. Розкладемо число 24 на прості множники: 24=2*2*2*3=23*3. Число 24 має 8 натуралуьних дільників: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24. Розглянемо 8 випадків для одного множника xy:
випадок 1. xy=1; yzzx=24;
випадок 2. xy=2; yzzx=12;
випадок 3. xy=3; yzzx=8;
випадок 4. xy=4; yzzx=6;
випадок 5. xy=6; yzzx=4;
випадок 6. xy=8; yzzx=3;
випадок 7. xy=12; yzzx=2;
випадок 8. xy=24; yzzx=1.


Складемо таблиці значень для кожного множиника.
xy
х=1
х=2
х=3
у=1
xy=11=1
xy=21=2
xy=31=3
у=2
xy=12=1
xy=22=4
xy=32=9
у=3
xy=13=1
xy=23=8
xy=33=27

yz
y=1
y=2
y=3
z=1
yz =11=1
yz =21=2
yz =31=3
z=2
yz =12=1
yz =22=4
yz =32=9
z=3
yz =13=1
yz =23=8
yz =33=27

zx
z=1
z=2
z=3
x=1
zx =11=1
zx =21=2
zx =31=3
x=2
zx =12=1
zx =22=4
zx =32=9
x=3
zx =13=1
zx =23=8
zx =33=27
Складемо таблиці значень для добутків двох множиників.
zxyz
zx=1
zx=2
zx=3
zx=4
zx=8
yz=1
zxyz =1
zxyz =2
zxyz =3
zxyz =4
zxyz =8
yz=2
zxyz =2
zxyz =4
zxyz =6
zxyz =8
16
yz=3
zxyz =3
zxyz =6
9
zxyz =12
zxyz =24
yz=4
zxyz =4
zxyz =8
zxyz =12
zxyz =16
zxyz =32
yz=8
zxyz =8
zxyz =16
zxyz =24
zxyz =32
zxyz =64
Складемо таблиці значень для добутків трьох множиників.
xyyzzx
xy=1
xy=2
xy=3
xy=4
xy=8
yzzx=1
xyyzzx=1
xyyzzx=2
xyyzzx=3
xyyzzx=4
xyyzzx=8
yzzx=2
xyyzzx=2
xyyzzx=4
xyyzzx=6
xyyzzx=8
xyyzzx=16
yzzx=3
xyyzzx=3
xyyzzx=6
xyyzzx=9
xyyzzx=12
xyyzzx=24
yzzx=4
xyyzzx=4
xyyzzx=8
xyyzzx=12
xyyzzx=16
xyyzzx=32
yzzx=6
xyyzzx=6
xyyzzx=12
xyyzzx=18
xyyzzx=24
xyyzzx=64
yzzx=8
xyyzzx=8
xyyzzx=16
xyyzzx=24
xyyzzx=32
xyyzzx=64
yzzx=12
xyyzzx=12
xyyzzx=24
xyyzzx=36
xyyzzx=48
xyyzzx=96
yzzx=24
xyyzzx=24
xyyzzx=48
xyyzzx=72
xyyzzx=96
xyyzzx=192


Відповідь: маємо 6 розв’язків в натуральних числах:
(x;y;z)={ (1;2;3), (2;3;1), (3;1;2), (24;1;1), (1;1;24), (1;24;1)}.
 Перевірка: 
122331= 24


Завдання для самостійного опрацювання.

1.Доведіть, що рівняння xyyx=1  має безліч розвязків (х; у) в цілих числах.
Примітка: Доведіть тотожність: (-2т)*(2т)-2т=1
2.Доведіть, що рівняння xyyx=1  має розвязки (2; -4) (-2; 4) в цілих числах.

3.Розв’язати рівняння  в натуральних числах (x; y):
1)           xyyx=72;   2)    xyyx=3;   3) xyyx=4;  
4) xyyx=6;   5) xyyx=12;   6) xyyx=18.  


4.Розв’язати рівняння  в натуральних числах (x; y; z):
2)           xyyzzx=1;   2)    xyyzzx=2;   3) xyyzzx=4;  
4) xyyzzx=6;   5) xyyzzx=12;   6) xyyzzx=18.  
 1