Розглянемо рівняння на множині дійсних чисел:

х^у=у^х.

х^у-у^х=0

Якщо х=у=z, тобто (x;y)=(z; z),
де z – довільне дійсне додатне або від’ємне число,
  тобто дана пара задовольняє дане рівняння.

Якщо вважати, що існує cкінчена границя функції

х^х -->а, (а=1), якщо х-->0,
тоді можна розглядати пару:

х=0; у=0, тобото (x;y)=(0; 0) – це пара,
що задовольняє дане рівняння.

Якщо х=2; у=4, тобто (x;y)=(2; 4) -
дана пара задовольняє дане рівняння,

Якщо х=4, у=2,   тобто (x;y)=(4; 2) -
дана пара задовольняє дане рівняння.

Якщо х=-2; у=-4, тобто (x;y)=(-2; -4) -
дана пара задовольняє дане рівняння.

Якщо х=-4, у=-2,   тобто (x;y)=(-4; -2) -
дана пара задовольняє дане рівняння.

Покажимо, як знайти ці розв’язки

Виконаємо заміну вигляду: у=х^z

            x^(х^z ) = (х^z )^x

або

x^(х^z -zx) =1.

Розглянемо випадок: а⁰=1.

Тобто, нульовий показник: х^z –zx=0;

х^z =zx, звідси

(x; z)=(2; 2);   (x; z)=(1; 1);   (x; z)=(-1; 1);

(x; у)=(х; х^z) = (2; 2²) =(2; 4);

(x; у)=(х; х^z) = (1; 1¹) =(1; 1);

(x; у)=(х; х^z) = (-1; (-1)¹) =(-1; -1);

Відповідь:
(-4; -2) (-2; -4);
(2; 4); (4; 2) ; (z; z).

Ламбертa W-Функція

Ламберт

-функція, також називається функцією омеги, є зворотною функцією від

(1)

Графік вище показує функцію уздовж реальної осі . Основне значення функції Ламберта

реалізовано в мові Вольфрам як ProductLog [ z ]. Різні гілки функції доступні в мові Вольфрам як ProductLog [ k , z ], де

є будь-яке ціле число і

відповідає основному значенню. Незважаючи на відсутність документів, LambertW [ k , z ] автоматично оцінює ProductLog [ k , z ] у мові Вольфрам.

Ламберт (1758) розглянув рішення

(2)

тепер відомий як трансцендентне рівняння Ламберта . Ейлер почув про папір Ламберта в 1764 році, коли Ламберт переїхав з Цюріха до Берліна. Після деяких приватних суперечок про пріоритети деяких родинних розширень серії в 1770/1771 р. Ейлер (1783) написав статтю про трансцендентне рівняння Ламберта, в якій він ввів особливий випадок, який зводиться до

, що є майже визначенням

, хоча Ейлер запропонував визначити функція більше схожа на

. У цьому документі Ейлер розглядав ряд рішень, а в першому параграфі явно цитує Ламберта як того, хто вперше розглянув це рівняння.

Ейзенштейн (1844) розглянув серію нескінченної енергетичної вежі

(3)

який може бути виражений у замкнутому вигляді як

(4)

Pólya і Szegö (1925) першими використовували символ

функції Ламберта.

Банел і Джейакумар (2000) показали, що a

-функція описує співвідношення між напругою, струмом та опором в діоді, а Пакель та Юен (2004) застосували

-функцію до балістичного снаряда за наявності опору повітря. Інші застосунки були знайдені в статистичній механіці, квантовій хімії, комбінаториці, кінетиці ферментів, фізіології зору, інженерії тонких плівок, гідрології та аналізу алгоритмів (Hayes 2005).

Функція Ламберта

показана вище на складній площині.

Речові (ліві) і уявні (правильні) частини аналітичного продовження

над комплексною площиною наведені вище (М. Тротт, пер. Комм.).

є реальним для

. Це має особливі цінності

			(5)
			(6)
			(7)
			(8)

(OEIS A030178 ) називається константою Омега і може вважатися своєрідним " золотим співвідношенням " експонентів, оскільки

(9)

давати

(10)

Функція Ламберта

підпорядковується ідентичності

(11)

(персонал від Р. Корлеса до О. Марічева, 29 вересня 2015 р.).

Функція

має дуже складну структуру в комплексній площині, але просто дорівнює 1 для

і трохи розширеної області вище і нижче реальної осі.

Функція Ламберта

має розширення ряду

			(12)
			(13)

Теорія інверсії Лагранжа дає еквівалентне розкладання рядів

(14)

де

це факторіала . Однак ця серія коливається між все більшими позитивними та негативними значеннями для реальних

, і тому не може бути використана для практичного чисельного обчислення.

Асимптотична формула , яка дає досить точні результати

			(15)
			(16)

де

			(17)
			(18)

(Corless et al., 1996), виправлення друкарської помилки в Брюїні (1981). Інша експансія завдяки Госперу (пер. Кому., 22 липня 1996 р.) Є подвійною серією

$W (x) = a + sum_ (n = 0) ^ infty {sum_ (k = 0) ^ n (S_1 (n, k)) / [[ln (x / a) -a] ^ (k-1) (n-k + 1)!)) [1- (ln (x / a)) / a] ^ n,$