Класичні нерівності на середніх
величинах
Розглянемо дві лінійні
функції Вінницького для будь-яких середніх величин між будь-якими двома додатними
дійсними числами a та b:
Vсп(s)=b-s(b-a), де 0<а£b, аргумент sÎ(0;1)
- спадна функція;
Vзр(s)=a+s(b-a), де 0<а£b, аргумент sÎ(0;1) - зростаюча функція;
Наприклад:
Якщо s = b/a+b
, тоді значення лінійної функції Вінницького
Vсп(b/a+b)=2ab/(a+b) - це
середнє гармонійне двох чисел a та b
Якщо s= b^0,5/a^0,5+b^0,5, тоді значення лінійної функції Вінницького
Vсп(b^0,5/a^0,5+b^0,5) = a0,5b0,5-
це середнє геометричне двох чисел a та b
Якщо s= 0,5, тоді значення лінійної функції
Вінницького
Vсп(0,5) = 0,5(a+b)- це середнє арифметичне двох чисел a та b
Означення 1. Для двох додатних дійсних чисел v та w число(2<v<w),
що обчислене за формулою:
Н2=2vw/(v+w)
називається середнє гармонійне
число.
Примітка. Середнє гармонійне це таке число, яке вказує у скільки
разів добуток даних двох чисел більше середнього арифметичного даних двох
чисел(півсуми двох чисел).
Приклади.
Перше число не менше двох
|
Друге число не менше двох
|
Піврізниця двох доданих чисел r(v,w)
|
Cереднє гармонійне двох додатних чисел v<H(v,
w)<w
|
v
|
w
|
r=(w-v)*0,5
|
H(v,w)=2vw/(v+w)
|
2
|
3
|
0,5
|
2,4
|
3,1
|
4
|
0,45
|
3,492957746
|
4,2
|
5
|
0,4
|
4,565217391
|
5,3
|
6
|
0,35
|
5,628318584
|
6,4
|
7
|
0,3
|
6,686567164
|
7,5
|
8
|
0,25
|
7,741935484
|
8,6
|
9
|
0,2
|
8,795454545
|
9,7
|
10
|
0,15
|
9,847715736
|
10,8
|
11
|
0,1
|
10,89908257
|
11,9
|
12
|
0,05
|
11,94979079
|
12
|
14
|
1
|
12,92307692
|
13
|
17
|
2
|
14,73333333
|
14
|
20
|
3
|
16,47058824
|
15
|
23
|
4
|
18,15789474
|
16
|
17
|
0,5
|
16,48484848
|
Означення 2. Для
двох додатних дійсних чисел v та w число(2<v<w), що обчислене за
формулою:
V2=(vw-1/vw)0,5
називається середнє вивірене число.
Примітка. Середнє вивірене це таке число, яке вказує на квадратний
корінь від різниці добутку двох даних чисел та оберненої до добутку величини
даних двох чисел: (vw-1/vw)^0,5.
Приклади.
Перше число не
менше двох
|
Друге число не
менше двох
|
Піврізниця двох доданих
чисел r(v,w)
|
Cереднє
вивірене
двох додатних
чисел
v<V(v, w)<w
|
v
|
w
|
r=(w-v)*0,5
|
V(v,w)=((v*v*w*w-1)/(vw))^0,5
|
2
|
3
|
0,5
|
2,415229458
|
3,1
|
4
|
0,45
|
3,50989385
|
4,2
|
5
|
0,4
|
4,577377082
|
5,3
|
6
|
0,35
|
5,636359948
|
6,4
|
7
|
0,3
|
6,691612554
|
7,5
|
8
|
0,25
|
7,744890789
|
8,6
|
9
|
0,2
|
8,796992674
|
9,7
|
10
|
0,15
|
9,848334414
|
10,8
|
11
|
0,1
|
10,89915513
|
11,9
|
12
|
0,05
|
11,94960239
|
12
|
14
|
1
|
12,96125178
|
13
|
17
|
2
|
14,86591656
|
14
|
20
|
3
|
16,73309381
|
15
|
23
|
4
|
18,57409759
|
16
|
17
|
0,5
|
16,49231104
|
Означення 3. Для двох додатних дійсних чисел v та w
число(2<v<w), що обчислене за формулою:
С(v,w)= (vw-1/v2w2)0,5.
називається cереднє
скориговане двох додатних чисел.
Примітка. Середнє скориговане це таке число, яке вказує на квадратний
корінь від різниці добутку двох даних чисел та квадрату оберненої до добутку величини даних двох чисел: (vw-1/v2w2)^0,5.
Приклади.
Перше
число не менше двох
|
Друге
число не менше двох
|
Піврізниця двох доданих
чисел r(v,w)
|
Cереднє
скориговане двох додатних чисел С(v,w)
|
v
|
w
|
r=(w-v)*0,5
|
C(v,w)=
=(vw-1/v2w2)^0,5.
|
2
|
3
|
0,5
|
2,44381305
|
3,1
|
4
|
0,45
|
3,520439796
|
4,2
|
5
|
0,4
|
4,582328276
|
5,3
|
6
|
0,35
|
5,639061191
|
6,4
|
7
|
0,3
|
6,693242992
|
7,5
|
8
|
0,25
|
7,745948762
|
8,6
|
9
|
0,2
|
8,797717492
|
9,7
|
10
|
0,15
|
9,848852406
|
10,8
|
11
|
0,1
|
10,89953802
|
11,9
|
12
|
0,05
|
11,94989335
|
12
|
14
|
1
|
12,96148003
|
13
|
17
|
2
|
14,86606806
|
14
|
20
|
3
|
16,73320015
|
15
|
23
|
4
|
18,57417539
|
16
|
17
|
0,5
|
16,49242209
|
Означення
4. Для двох додатних дійсних чисел v та w число(2<v<w),
що обчислене за формулою:
G2=(vw)0,5
називається середнє геометричне
число.
Примітка. Середнє геометричне це таке число, яке вказує на квадратний
корінь від добутку двох даних чисел (vw)^0,5,
і є довжиною перпендикуляра при умові,
що відомі довжини проекцій двох похилих для даного перпендикуляра,, які
відповідно дорівнюють v, w.
Приклади.
Перше
число не менше двох
|
Друге
число не менше двох
|
Піврізниця двох доданих
чисел r(v,w)
|
Середнє
геометричне двох додатних чисел G(v,w)
|
v
|
w
|
r=(w-v)*0,5
|
G(v,w)=(vw)^0,5
|
2
|
3
|
0,5
|
2,449489743
|
3,1
|
4
|
0,45
|
3,521363372
|
4,2
|
5
|
0,4
|
4,582575695
|
5,3
|
6
|
0,35
|
5,639148872
|
6,4
|
7
|
0,3
|
6,693280212
|
7,5
|
8
|
0,25
|
7,745966692
|
8,6
|
9
|
0,2
|
8,797726979
|
9,7
|
10
|
0,15
|
9,848857802
|
10,8
|
11
|
0,1
|
10,89954127
|
11,9
|
12
|
0,05
|
11,9498954
|
12
|
14
|
1
|
12,9614814
|
13
|
17
|
2
|
14,86606875
|
14
|
20
|
3
|
16,73320053
|
15
|
23
|
4
|
18,57417562
|
16
|
17
|
0,5
|
16,4924225
|
Означення 4. Для двох додатних дійсних чисел v та w число(2<v<w),
що обчислене за формулою:
A2=0,5(v+w)
називається середнє арифметичне
число.
Примітка. Середнє арифметичне це таке число, яке вказує середину
між числами v та w і дорівнює півсумі двох чисел.
Приклади.
Перше
число не менше двох
|
Друге
число не менше двох
|
Піврізниця двох доданих
чисел r(v,w)
|
Середнє
арифметичне двох додатних чисел A(v,w)
|
v
|
w
|
r=(w-v)*0,5
|
A(v,w)=(v+w)/2
|
2
|
3
|
0,5
|
2,5
|
3,1
|
4
|
0,45
|
3,55
|
4,2
|
5
|
0,4
|
4,6
|
5,3
|
6
|
0,35
|
5,65
|
6,4
|
7
|
0,3
|
6,7
|
7,5
|
8
|
0,25
|
7,75
|
8,6
|
9
|
0,2
|
8,8
|
9,7
|
10
|
0,15
|
9,85
|
10,8
|
11
|
0,1
|
10,9
|
11,9
|
12
|
0,05
|
11,95
|
12
|
14
|
1
|
13
|
13
|
17
|
2
|
15
|
14
|
20
|
3
|
17
|
15
|
23
|
4
|
19
|
16
|
17
|
0,5
|
16,5
|
Означення 5. Для двох додатних дійсних чисел v та w число(2<v<w),
що обчислене за формулою:
Q2=(0,5(v2+w2))0,5
називається середнє квадратичне число.
Примітка. Середнє
квадратичне вказує на величину відхилення від середнього арифметичного двох
даних чисел(тобто на кореляцію даних)
Приклади.
Перше
число не менше двох
|
Друге
число не менше двох
|
Піврізниця двох доданих
чисел r(v,w)
|
Cереднє
квадратичне двох додатних чисел
Q(v,w)
|
v
|
w
|
r=(w-v)*0,5
|
Q(v,w)=((v^2+w^2)/2)^0,5
|
2
|
3
|
0,5
|
2,549509757
|
3,1
|
4
|
0,45
|
3,578407467
|
4,2
|
5
|
0,4
|
4,617358552
|
5,3
|
6
|
0,35
|
5,660830328
|
6,4
|
7
|
0,3
|
6,706713055
|
7,5
|
8
|
0,25
|
7,75403121
|
8,6
|
9
|
0,2
|
8,802272434
|
9,7
|
10
|
0,15
|
9,851142066
|
10,8
|
11
|
0,1
|
10,90045871
|
11,9
|
12
|
0,05
|
11,9501046
|
12
|
14
|
1
|
13,03840481
|
13
|
17
|
2
|
15,13274595
|
14
|
20
|
3
|
17,2626765
|
15
|
23
|
4
|
19,41648784
|
16
|
17
|
0,5
|
16,50757402
|
.
Означення 6. Для двох додатних дійсних чисел v та w число(2<v<w),
що обчислене за формулою:
Q7=((v7+w7+H7+V7+C7+G7+A7+Q7)/7)(1/7)
називається середнє степеневе семи проміжних і крайніх величин.
Приклади.
Перше
число не менше двох
|
Друге
число не менше двох
|
Піврізниця двох доданих
чисел r(v,w)
|
Cереднє
степеневе семи попередніх величин U7(v,w)
|
v
|
w
|
r=(w-v)*0,5
|
U7(v,w)
|
2
|
3
|
0,5
|
2,563511253
|
3,1
|
4
|
0,45
|
3,585954259
|
4,2
|
5
|
0,4
|
4,621880028
|
5,3
|
6
|
0,35
|
5,663622508
|
6,4
|
7
|
0,3
|
6,708424126
|
7,5
|
8
|
0,25
|
7,755039163
|
8,6
|
9
|
0,2
|
8,802819643
|
9,7
|
10
|
0,15
|
9,851394283
|
10,8
|
11
|
0,1
|
10,90053472
|
11,9
|
12
|
0,05
|
11,95009264
|
12
|
14
|
1
|
13,04980812
|
13
|
17
|
2
|
15,17518445
|
14
|
20
|
3
|
17,3524329
|
15
|
23
|
4
|
19,5666329
|
16
|
17
|
0,5
|
16,50973669
|
Означення 6. Для двох додатних дійсних чисел v та w число(2<v<w),
що обчислене за формулою:
U7=0,5(v-w)+(vw)0,5
називається арифмо-геометричне число.
Приклади.
Перше
число не менше двох
|
Друге
число не менше двох
|
Піврізниця двох доданих
чисел r(v,w)
|
Cереднє
арифмо-геометричне двох додатних чисел
v<AG(v,w)<w
|
v
|
w
|
r=(w-v)*0,5
|
AG(v,w)=0,5(w-v)+(vw)^0,5
|
2
|
3
|
0,5
|
2,949489743
|
3,1
|
4
|
0,45
|
3,971363372
|
4,2
|
5
|
0,4
|
4,982575695
|
5,3
|
6
|
0,35
|
5,989148872
|
6,4
|
7
|
0,3
|
6,993280212
|
7,5
|
8
|
0,25
|
7,995966692
|
8,6
|
9
|
0,2
|
8,997726979
|
9,7
|
10
|
0,15
|
9,998857802
|
10,8
|
11
|
0,1
|
10,99954127
|
11,9
|
12
|
0,05
|
11,9998954
|
12
|
14
|
1
|
13,9614814
|
13
|
17
|
2
|
16,86606875
|
14
|
20
|
3
|
19,73320053
|
15
|
23
|
4
|
22,57417562
|
16
|
17
|
0,5
|
16,9924225
|
Доведіть, що середні величини двох додатних
чисел v та w число(2<v<w), має такі
властивості:
v<H2<V2<C2<G2<A2<Q2<U7<AG2<w
Нерівності
Вінницького
Перша
нерівність: Довести, якщо
d=kap+mbg+ncq,
де {а, b, с, d, k, m, n } - дійсні додатні
числа,
{p, g, q} – дійсні числа,
тоді виконується перша нерівність Вінницького:
apbgcq/d3
£ 1/(27kmn)
або
kmnapbgcq/(kap+mbg+ncq)3
£ 1/27
або
kmapbg/(kap+mbg)2£ 1/4=0,25
Доведення.
Використаємо класичну нерівність
Коші:
d=kap+mbg+ncq³ 3(kapmbgncq)^(1/3).
Тоді
d³ 3(kapmbgncq)^(1/3).
Поділимо всю
нерівність на 3, отримаємо:
d/3³ (kapmbgncq)^(1/3).
Піднесемо обидві додатні частини нерівності до кубу, отримаємо:
d3³ 27(kmnapbgcq).
Поділимо обидві додатні частини нерівності на додатне число 27kmnd3 , отримаємо:
apbgcq/d3
£ 1/(27kmn). Що і треба було довести. Тобто,
apbgcq/(kap+mbg+ncq)3
£ 1/(27kmn).
Друга
нерівність: Довести, якщо
d1=k/ap+m/bg+n/cq,
d2=kap+mbg+ncq,
де {а, b, с, d, k, m, n } - дійсні додатні
числа, {p£g£q} – дійсні числа,
тоді виконується друга нерівність Вінницького:
9(kmn)^(2/3) £ (k/ap+m/bg+n/cq)(kap+mbg+ncq).
Доведення.
Використаємо класичну нерівність
Коші:
k/ap+m/bg+n/cq
³3(kmn/apbgcq);
kap+mbg+ncq
³ 3(kapmbgncq)^(1/3).
Виконаємо
множення двох нерівностей(до речі, у них усі ліва та права частини – це додатні
числа).
(k/ap+m/bg+n/cq)( kap+mbg+ncq
) ³ 3(kapmbgncq)^(1/3) ×3(kmn/apbgcq);
Після
скорочення в правій частині нерівності, матимемо обмеження знизу:
9(kmn)^(2/3) £ (k/ap+m/bg+n/cq)(kap+mbg+ncq
).
Третя
нерівність: Довести, якщо
d1=k/ap+m/bg+n/cq,
apbgcq
d2=kap+mbg+ncq,
де {а, b, с, d, k, m, n } - дійсні додатні
числа, {p£g£q} – дійсні числа,
тоді виконується третя нерівність Вінницького:
(k+m+n)2£ (k/ap+m/bg+n/cq)(kap+mbg+ncq
)
Доведення. Не втрачаючи загальності, можна розкрити
дужки:
(k/ap+m/bg+n/cq)(kap+mbg+ncq
)=
= k/ap × kap
+ m/bg × kap + n/cq ×kap +
+ k/ap × mbg + m/bg × mbg + n/cq × mbg +
+ k/ap ×
ncq + m/bg × ncq + n/cq
× ncq ³
³ (k2+m2+n2+2mk+2kn+2mn)
=(k+m+n)2.
Звертаємо
увагу, що: 1) використано
нерівність для суму обернених чисел: а + 1/а
³ 2. 2)для таких згрупованих доданків:
m/bg × kap + k/ap × mbg = mk(ap/bg+
bg /ap) ³2km;
n/cq ×kap+
k/ap × ncq =kn(ap/cq
+ cq/ap) ³2kn;
m/bg × ncq + n/cq × mbg =mn(cq/ bg + bg /cq) ³2mn.
Отже, (k+m+n)2£ (k/ap+m/bg+n/cq)(kap+mbg+ncq).
Яка оцінка точніше?
9(kmn)^(2/3) £ (k+m+n)2£ (k/ap+m/bg+n/cq)(kap+mbg+ncq) <+оо
