Класичні нерівності на середніх величинах

Класичні нерівності на середніх величинах

Розглянемо дві лінійні функції Вінницького для будь-яких середніх величин між будь-якими двома додатними дійсними числами a та b:

V_сп(s)=b-s(b-a), де 0<а£b, аргумент   sÎ(0;1)   - спадна функція;

V_зр(s)=a+s(b-a), де 0<а£b, аргумент  sÎ(0;1)   - зростаюча функція;

Наприклад:

Якщо s = ^b/_a+b  , тоді значення лінійної функції Вінницького

V_сп(^b/_a+b)=2ab/(a+b) - це середнє гармонійне двох чисел a та b

Якщо s= ^{b^0,5}/_a^0,5+b^0,5, тоді значення лінійної функції Вінницького

V_сп(^{b^0,5}/_a^0,5+b^0,5) = a^0,5b^0,5- це середнє геометричне двох чисел a та b

Якщо s= 0,5, тоді значення лінійної функції Вінницького

V_сп(0,5) = 0,5(a+b)- це середнє арифметичне двох чисел a та b

Означення 1. Для двох додатних дійсних чисел v та w число(2<v<w), що обчислене за формулою:

Н₂=2vw/(v+w)

називається середнє гармонійне число.

Примітка. Середнє гармонійне це таке число, яке вказує у скільки разів добуток даних двох чисел більше середнього арифметичного даних двох чисел(півсуми двох чисел).

Приклади.

Перше число не менше двох	Друге число не менше двох	Піврізниця двох доданих чисел r(v,w)	Cереднє гармонійне двох додатних чисел v<H(v, w)<w
v	w	r=(w-v)*0,5	H(v,w)=2vw/(v+w)
2	3	0,5	2,4
3,1	4	0,45	3,492957746
4,2	5	0,4	4,565217391
5,3	6	0,35	5,628318584
6,4	7	0,3	6,686567164
7,5	8	0,25	7,741935484
8,6	9	0,2	8,795454545
9,7	10	0,15	9,847715736
10,8	11	0,1	10,89908257
11,9	12	0,05	11,94979079
12	14	1	12,92307692
13	17	2	14,73333333
14	20	3	16,47058824
15	23	4	18,15789474
16	17	0,5	16,48484848

Означення 2. Для двох додатних дійсних чисел v та w число(2<v<w), що обчислене за формулою:

V₂=(vw-1/vw)^0,5

 називається середнє вивірене число.

Примітка. Середнє вивірене це таке число, яке вказує на квадратний корінь від різниці добутку двох даних чисел та оберненої до добутку величини даних двох чисел: (vw-1/vw)^0,5.

Приклади.

Перше число не менше двох	Друге число не менше двох	Піврізниця двох доданих чисел r(v,w)	Cереднє вивірене двох додатних чисел v<V(v, w)<w
v	w	r=(w-v)*0,5	V(v,w)=((v*v*w*w-1)/(vw))^0,5
2	3	0,5	2,415229458
3,1	4	0,45	3,50989385
4,2	5	0,4	4,577377082
5,3	6	0,35	5,636359948
6,4	7	0,3	6,691612554
7,5	8	0,25	7,744890789
8,6	9	0,2	8,796992674
9,7	10	0,15	9,848334414
10,8	11	0,1	10,89915513
11,9	12	0,05	11,94960239
12	14	1	12,96125178
13	17	2	14,86591656
14	20	3	16,73309381
15	23	4	18,57409759
16	17	0,5	16,49231104

Означення 3. Для двох додатних дійсних чисел v та w число(2<v<w), що обчислене за формулою:

С(v,w)= (vw-1/v²w²)^0,5.

називається cереднє скориговане двох додатних чисел.

Примітка. Середнє скориговане це таке число, яке вказує на квадратний корінь від різниці добутку двох даних чисел та квадрату оберненої до добутку величини даних двох чисел: (vw-1/v²w²)^0,5.

Приклади.

Перше число не менше двох	Друге число не менше двох	Піврізниця двох доданих чисел r(v,w)	Cереднє скориговане двох додатних чисел С(v,w)
v	w	r=(w-v)*0,5	C(v,w)= =(vw-1/v2w2)^0,5.
2	3	0,5	2,44381305
3,1	4	0,45	3,520439796
4,2	5	0,4	4,582328276
5,3	6	0,35	5,639061191
6,4	7	0,3	6,693242992
7,5	8	0,25	7,745948762
8,6	9	0,2	8,797717492
9,7	10	0,15	9,848852406
10,8	11	0,1	10,89953802
11,9	12	0,05	11,94989335
12	14	1	12,96148003
13	17	2	14,86606806
14	20	3	16,73320015
15	23	4	18,57417539
16	17	0,5	16,49242209

 Означення 4. Для двох додатних дійсних чисел v та w число(2<v<w), що обчислене за формулою:

G₂=(vw)^0,5

називається середнє геометричне число.

Примітка.  Середнє геометричне це таке число, яке вказує на квадратний корінь від добутку двох даних чисел (vw)^0,5, і є довжиною перпендикуляра  при умові, що відомі довжини проекцій двох похилих для даного перпендикуляра,, які відповідно дорівнюють v, w.

Приклади.

Перше число не менше двох	Друге число не менше двох	Піврізниця двох доданих чисел r(v,w)	Середнє геометричне двох додатних чисел G(v,w)
v	w	r=(w-v)*0,5	G(v,w)=(vw)^0,5
2	3	0,5	2,449489743
3,1	4	0,45	3,521363372
4,2	5	0,4	4,582575695
5,3	6	0,35	5,639148872
6,4	7	0,3	6,693280212
7,5	8	0,25	7,745966692
8,6	9	0,2	8,797726979
9,7	10	0,15	9,848857802
10,8	11	0,1	10,89954127
11,9	12	0,05	11,9498954
12	14	1	12,9614814
13	17	2	14,86606875
14	20	3	16,73320053
15	23	4	18,57417562
16	17	0,5	16,4924225

Означення 4. Для двох додатних дійсних чисел v та w число(2<v<w), що обчислене за формулою:

A₂=0,5(v+w)

називається середнє арифметичне число.

Примітка. Середнє арифметичне це таке число, яке вказує середину між числами v та w і дорівнює півсумі двох чисел.

Приклади.

Перше число не менше двох	Друге число не менше двох	Піврізниця двох доданих чисел r(v,w)	Середнє арифметичне двох додатних чисел A(v,w)
v	w	r=(w-v)*0,5	A(v,w)=(v+w)/2
2	3	0,5	2,5
3,1	4	0,45	3,55
4,2	5	0,4	4,6
5,3	6	0,35	5,65
6,4	7	0,3	6,7
7,5	8	0,25	7,75
8,6	9	0,2	8,8
9,7	10	0,15	9,85
10,8	11	0,1	10,9
11,9	12	0,05	11,95
12	14	1	13
13	17	2	15
14	20	3	17
15	23	4	19
16	17	0,5	16,5

Означення 5. Для двох додатних дійсних чисел v та w число(2<v<w), що обчислене за формулою:

Q₂=(0,5(v²+w²))^0,5

 називається середнє квадратичне число.

Примітка. Середнє квадратичне вказує на величину відхилення від середнього арифметичного двох даних чисел(тобто на кореляцію даних)

Приклади.

Перше число не менше двох	Друге число не менше двох	Піврізниця двох доданих чисел r(v,w)	Cереднє квадратичне двох додатних чисел  Q(v,w)
v	w	r=(w-v)*0,5	Q(v,w)=((v^2+w^2)/2)^0,5
2	3	0,5	2,549509757
3,1	4	0,45	3,578407467
4,2	5	0,4	4,617358552
5,3	6	0,35	5,660830328
6,4	7	0,3	6,706713055
7,5	8	0,25	7,75403121
8,6	9	0,2	8,802272434
9,7	10	0,15	9,851142066
10,8	11	0,1	10,90045871
11,9	12	0,05	11,9501046
12	14	1	13,03840481
13	17	2	15,13274595
14	20	3	17,2626765
15	23	4	19,41648784
16	17	0,5	16,50757402

.

Означення 6. Для двох додатних дійсних чисел v та w число(2<v<w), що обчислене за формулою:

Q₇=((v⁷+w⁷+H⁷+V⁷+C⁷+G⁷+A⁷+Q⁷)/7)^(1/7)

 називається середнє степеневе семи проміжних і крайніх  величин.

Приклади.

Перше число не менше двох	Друге число не менше двох	Піврізниця двох доданих чисел r(v,w)	Cереднє степеневе семи попередніх величин U7(v,w)
v	w	r=(w-v)*0,5	U7(v,w)
2	3	0,5	2,563511253
3,1	4	0,45	3,585954259
4,2	5	0,4	4,621880028
5,3	6	0,35	5,663622508
6,4	7	0,3	6,708424126
7,5	8	0,25	7,755039163
8,6	9	0,2	8,802819643
9,7	10	0,15	9,851394283
10,8	11	0,1	10,90053472
11,9	12	0,05	11,95009264
12	14	1	13,04980812
13	17	2	15,17518445
14	20	3	17,3524329
15	23	4	19,5666329
16	17	0,5	16,50973669

Означення 6. Для двох додатних дійсних чисел v та w число(2<v<w), що обчислене за формулою:

U₇=0,5(v-w)+(vw)^0,5

 називається арифмо-геометричне число.

Приклади.

Перше число не менше двох	Друге число не менше двох	Піврізниця двох доданих чисел r(v,w)	Cереднє арифмо-геометричне двох додатних чисел v<AG(v,w)<w
v	w	r=(w-v)*0,5	AG(v,w)=0,5(w-v)+(vw)^0,5
2	3	0,5	2,949489743
3,1	4	0,45	3,971363372
4,2	5	0,4	4,982575695
5,3	6	0,35	5,989148872
6,4	7	0,3	6,993280212
7,5	8	0,25	7,995966692
8,6	9	0,2	8,997726979
9,7	10	0,15	9,998857802
10,8	11	0,1	10,99954127
11,9	12	0,05	11,9998954
12	14	1	13,9614814
13	17	2	16,86606875
14	20	3	19,73320053
15	23	4	22,57417562
16	17	0,5	16,9924225

Доведіть, що середні величини двох додатних чисел v та w число(2<v<w), має такі властивості:

v<H₂<V₂<C₂<G₂<A₂<Q₂<U₇<AG₂<w

Нерівності Вінницького

Перша нерівність: Довести, якщо

d=ka^p+mb^g+nc^q,

де  {а, b, с, d, k, m, n } - дійсні додатні числа,

 {p, g, q} – дійсні числа, 

тоді виконується перша нерівність Вінницького: 

a^pb^gc^q/d³ £ 1/(27kmn)  

або 

kmna^pb^gc^q/(ka^p+mb^g+nc^q)³ £ 1/27 

або

kma^pb^g/(ka^p+mb^g)²£ 1/4=0,25

Доведення. Використаємо класичну нерівність  Коші: 

d=ka^p+mb^g+nc^q³ 3(ka^pmb^gnc^q)^(1/3). 

Тоді

d³ 3(ka^pmb^gnc^q)^(1/3).   

Поділимо всю нерівність на 3, отримаємо:

d/3³ (ka^pmb^gnc^q)^(1/3).  

Піднесемо обидві додатні частини нерівності до кубу, отримаємо:

d³³ 27(kmna^pb^gc^q). 

Поділимо обидві додатні частини нерівності на  додатне число 27kmnd³ , отримаємо:

a^pb^gc^q/d³ £ 1/(27kmn). Що і треба було довести. Тобто,

a^pb^gc^q/(ka^p+mb^g+nc^q)³ £ 1/(27kmn).

Друга нерівність: Довести, якщо

d₁=^k/a^p+^m/b^g+ⁿ/c^q,  

 d₂=ka^p+mb^g+nc^q,  

де  {а, b, с, d, k, m, n } - дійсні додатні числа, {p£g£q} – дійсні числа, 

тоді виконується друга нерівність Вінницького:

9(kmn)^(2/3) £ (^k/a^p+^m/b^g+ⁿ/c^q)(ka^p+mb^g+nc^q).

Доведення. Використаємо класичну нерівність  Коші: 

^k/a^p+^m/b^g+ⁿ/c^q ³3(kmn/a^pb^gc^q);

    ka^p+mb^g+nc^q ³ 3(ka^pmb^gnc^q)^(1/3).  

Виконаємо множення двох нерівностей(до речі, у них усі ліва та права частини – це додатні числа).

(^k/a^p+^m/b^g+ⁿ/c^q)( ka^p+mb^g+nc^q ) ³ 3(ka^pmb^gnc^q)^(1/3) ×3(kmn/a^pb^gc^q); 

Після скорочення в правій частині нерівності, матимемо обмеження знизу:

9(kmn)^(2/3) £ (^k/a^p+^m/b^g+ⁿ/c^q)(ka^p+mb^g+nc^q ).

Третя нерівність: Довести, якщо

d₁=^k/a^p+^m/b^g+ⁿ/c^q,  a^pb^gc^q 

 d₂=ka^p+mb^g+nc^q,  

де  {а, b, с, d, k, m, n } - дійсні додатні числа, {p£g£q} – дійсні числа, 

тоді виконується третя нерівність Вінницького:

(k+m+n)²£ (^k/a^p+^m/b^g+ⁿ/c^q)(ka^p+mb^g+nc^q )

Доведення. Не втрачаючи загальності, можна розкрити дужки:

(^k/a^p+^m/b^g+ⁿ/c^q)(ka^p+mb^g+nc^q )=

= ^k/a^p × ka^p + ^m/b^g × ka^p + ⁿ/c^q ×ka^p +

+ ^k/a^p × mb^g + ^m/b^g × mb^g + ⁿ/c^q × mb^g +

+ ^k/a^p × nc^q + ^m/b^g × nc^q + ⁿ/c^q × nc^q ³

³ (k²+m²+n²+2mk+2kn+2mn) =(k+m+n)².

Звертаємо увагу, що: 1)  використано нерівність для суму обернених чисел: а + 1/а ³ 2. 2)для таких згрупованих доданків:

^m/b^g × ka^p + ^k/a^p × mb^g  = mk(a^p/b^g+  b^g /a^p)  ³2km;

ⁿ/c^q ×ka^p+ ^k/a^p × nc^q =kn(a^p/c^q + c^q/a^p) ³2kn;

^m/b^g × nc^q + ⁿ/c^q × mb^g =mn(c^q/ b^g + b^g /c^q) ³2mn.

Отже,  (k+m+n)²£ (^k/a^p+^m/b^g+ⁿ/c^q)(ka^p+mb^g+nc^q).

Яка оцінка точніше?

9(kmn)^(2/3) £ (k+m+n)²£ (^k/a^p+^m/b^g+ⁿ/c^q)(ka^p+mb^g+nc^q) <+оо