ДіАМАНТОВЕ РІВНЯННЯ В ТЕОРІЇ ЧИСЕЛ

ДіАМАНТОВЕ РІВНЯННЯ В ТЕОРІЇ ЧИСЕЛ

Розв’язати рівняння: 

a)3^z-2^z=5; якщо z – натуральне число;

б) х ^z - у ^z=р; якщо x, у, z – дійсні додатні числа; р – просте число;

в) f ^z(х)- g ^z(y) = yx,  якщо f:R₊® R₊, g:R₊® R₊, x, у, z – дійсні додатні числа.

  Розв’язання.

а) 3^z-2^z=5 - це  показникове  рівняння.  Розглянемо  ліву частину як різницю квадратів і розкладемо її на множники:

(3^0,5z)²-  (2^0,5z)²=(3^0,5z -  2^0,5z )( 3^0,5z +  2^0,5z)

Праву частину рівняння можна записати: 5=1*5=5*1.

Ліва і права частини рівняння належать множині натуральних чисел. Тому

отримаємо дві системи показникових рівнянь:

1) 3^0,5z -  2^0,5z =5,    3^0,5z +  2^0,5z  =1;     2) 3^0,5z -  2^0,5z =1,    3^0,5z +  2^0,5z  =5;

Використаємо спосіб додавання для розв’язування систем рівнянь.

1) Якщо додати два рівняння у системі 1), тоді

2*3^0,5z=6;   обидві частини  поділимо на 2.

3^0,5z=3, обидві частини піднесемо до степені 2.

3^z =9;  3^z =3²;  отже  z=2.

2) Якщо відняти два рівняння у системі 2), тоді

-2*2^0,5z=-4;   обидві частини  поділимо на -2. 

2^0,5z=2;   обидві частини піднесемо до степені 2.

2^z =4;  2^z =2²;  отже  z=2.

Перевірка: 3² -2² = 5.
Ліва частина є добутком двох дійсних чисел, які будуть цілими лише у випадку z=2x - парне.  Без розгляду непарних значень z=2x -1 втрачається частина коренів. Але на щастя, в цьому випадку ліва частина монотонно зростає, отже корінь єдиний, і тому  відповідь.

Відповідь: z=2.

б) х ^z - у ^z = р - це  показникове-степеневе  рівняння.  
Тут пропонується розглянути лише окремий випадок для даного рівняння, тому звертаємо увагу на те, що цей метод не дає повного розв'язання даного рівняння.
Розглянемо  ліву частину як різницю квадратів і розкладемо її на множники:

(х^0,5z)²-  (у^0,5z)²=(х^0,5z -  у^0,5z )( х^0,5z +  у^0,5z)

Праву частину рівняння можна записати: р=1*р=р*1.

Існують випадки на множині дійсних чисел, коли 

отримаємо дві системи показникових рівнянь:

1) х^0,5z -  у^0,5z =р,    х^0,5z +  у^0,5z  =1;   
  2) х^0,5z -  у^0,5z =1,    х^0,5z +  у^0,5z  =р;

Використаємо спосіб додавання для розв’язування систем рівнянь.

1) Якщо додати два рівняння у системі 1), тоді

2*x^0,5z=р+1;   обидві частини  поділимо на 2.

x^0,5z=0,5(р+1), обидві частини піднесемо до степені 2.

x^z =0,25(р+1)²;  обидві частини рівняння логарифмуємо за основою x;

z=log_x(0,25(р+1)²); 

x^z =0,25(р+1)²;  обидві частини рівняння піднесемо до степені  1/z = z^-1.

x^z*⁽¹/^z) =(0,25(р+1)²)*⁽¹/^z);  отже  x =(0,25(р+1)²)*⁽¹/^z) .

2) Якщо відняти два рівняння у системі 2), тоді

-2*y^0,5z=1-р;   обидві частини  поділимо на -2.

y^0,5z=0,5(р-1), обидві частини піднесемо до степені 2.

y^z =0,25(р-1)²;  обидві частини логарифмуємо за основою e;

z=log_y(0,25(р-1)²);   

у^z =0,25(р-1)²;  обидві частини рівняння піднесемо до степені  1/z = z^-1.

у^z*⁽¹/^z) =(0,25(р-1) ²)*⁽¹/^z);  отже  у =(0,25(р-1)²)*⁽¹/^z) .

Перевірка:   (0,25(р+1)²)*⁽¹/^z)* z - (0,25(р-1)²)*⁽¹/^z)* z = p

Відповідь:  Попереджаю, що це не всі розв'язки даного рівняння, а лише частковий:
 x =(0,25(р+1)²)*⁽¹/^z) ; 
 у =(0,25(р-1)²)*⁽¹/^z) ,  z – дійсні додатні числа;

d) f ^z (x) - g ^z (y)= xy - це  показникове-степеневе функціональне  рівняння. 
Знайдемо лише частковий розв'язок, у конкретному випадку. 
 Розглянемо  ліву частину як різницю квадратів і розкладемо її на множники:

(f(х)^0,5z)²-  (g(у)^0,5z)²=(f(х)^0,5z – g(у)^0,5z )(f(х)^0,5z + g(у)^0,5z)

 Тому отримаємо дві системи показникових рівнянь:

1) f(х)^0,5z -  g(у)^0,5z =x,    f(х)^0,5z +  g(у)^0,5z  =y;   

 2) f(х)^0,5z -  g(у)^0,5z =1,    f(х)^0,5z +  g(у)^0,5z  =xy;

Використаємо спосіб додавання для розв’язування систем рівнянь.

1) Якщо додати два рівняння у системі 1), тоді

2* f(х)^0,5z=xy+1;   обидві частини  поділимо на 2.

f(х)^0,5z=0,5(xy+1), обидві частини піднесемо до степені 2.

f(х)^z =0,25(xy+1)²;  обидві частини рівняння логарифмуємо за основоюf(х);

z=log _f(х) (0,25(xy+1)²);   

f(х)^z =0,25(xy+1)²;  обидві частини рівняння піднесемо до степені  1/z= z^-1.

f(х)^z*⁽¹/^z) =(0,25(xy+1)²)*⁽¹/^z);  отже  x =(0,25(xy+1)²)*⁽¹/^z) .

2) Якщо відняти два рівняння у системі 2), тоді

-2* g(у)^0,5z=1-xy;   обидві частини  поділимо на -2.

g(у)^0,5z=0,5(xy-1), обидві частини піднесемо до степені 2.

g(у)^z =0,25(xy-1)²;  обидві частини логарифмуємо за основою e;

z=log_y(0,25(xy-1)²);   

g(у)^z =0,25(xy-1)²;  обидві частини рівняння піднесемо до степені  1/z= z^-1.

g(у)^z*⁽¹/^z) =(0,25(xy-1) ²)*⁽¹/^z);  отже  g(у) =(0,25(xy-1)²)*⁽¹/^z) .

Перевірка:   (0,25(xy+1)²)*⁽¹/^z)* z - (0,25(xy-1)²)*⁽¹/^z)* z = xy

Відповідь:   f(х)=(0,25(xy+1)²)*⁽¹/^z) ;  g(у) =(0,25(xy-1)²)*⁽¹/^z) ,  z – дійсні додатні числа;