1.Нехай bc - двоцифрове додатне число(b –ненульова цифра). Якого найбільшого значення може набувати вираз bc –b2- c2? Відповідь: 12, для таких випадків: 21-13-23=12. 20-03-23=12.
Розвʼязок. bc –b2- c2 = 10b+c –b2- c2 = b (10 - b)+ (1-c)c – це сума двох невідємних доданків. Варто
дослідити на найбільше значення кожний доданок окремо. Розглянемо функцію
f (b) =
b(10 - b)= 10b –b2на проміжку від 1 до 9. Вираз b(10 –b) набуває найбільшого значення
при b=5, f (5)
=25. Це можна знайти, підставляючи
усі цифри по черзі від 1 до 9,(або знайти координати вершини параболи)
одержимо, що найбільше значення досягається при b=5. Вираз f (с) =
(1-c)c = 10с –с2на невідʼємний лише при
с=0, або с=1. Таким чином, найбільше значення заданого виразу bc –b2- c2досягається
при b=5, с=0 або с=1 і дорівнює
5(10-5)+1(1-1)=25-0=25. Відповідь: 25.
2.Нехай bc - двоцифрове додатне число(b –ненульова цифра). Якого найбільшого значення може набувати вираз bc -b3- c3? Відповідь: 12, для таких випадків: 21-13-23=12. 20-03-23=12.
Розвʼязок. Вираз b(10 –b2)
набуває невідʼємних значень при b=0, b=1, b=2 і b=3. Розглядаючи ці значення по
черзі, одержимо, що найбільше значення досягається при b=2. Вираз (1-c2)
c - c невідʼємний лише при
с=0, або с=1. Таким чином, найбільше значення заданого виразу досягається при
b=2, с=0 або с=1 і дорівнює 21-13-23=12. 20-03-23=12. Відповідь: 12.
3.Розвязати рівняння в натуральних числах bc -b3- c3 =cb, с-цифра, и –цифра.
Відповідь: b=2; c=1.
4.Нехай abc - трицифрове додатне число. Якого найбільшого значення може набувати вираз abc-a3 -b3 c3?
Відповідь: 396.
Розвʼязок. Оскільки
abc-a3 -b3 c3 = 100a+
10b+ c-a3 -b3
c3= a(100-a2 ) +b(10-b2)+c(1-c2 ) , то цей
вираз набуватиме найбільшого значення, якщо кожен доданок суми буде найбільшим
(a, b, c – незалежні між собою). Дослідимо кожен доданок окремо, пам’ятаючи, що
a, b і c – цифри, і a≠0.
Вираз a(100
-a2) набуває найбільшого
значення при а=6. Для того, щоб переконатися в цьому, можна розглянути по черзі
всі значення а від 1 до 9, або ж дослідити на екстремум функцію f (a) = a(100 -a2) на проміжку
від 1 до 9, памʼятаючи, що a
– ціле число в межах від 1 до 9. Вираз b(10 –b2)
набуває невідʼємних значень при b=0, b=1, b=2 і b=3. Розглядаючи ці значення по
черзі, одержимо, що найбільше значення досягається при b=2. Вираз (1-c2)
c - c невідʼємний лише при
с=0, або с=1. Таким чином, найбільше значення заданого виразу досягається при
а=6, b=3, с=0 або с=1 і дорівнює 6(100-36)+2(10-4)=6·64+2·6=384+12=396.
Відповідь: 396.
Завдання для самостійного опрацювання
1.Розв’язати в цілих числах: aba =10b. Відповідь: a1=2, b1=5. a2=10, b2=1. a3=0, b3=0.
2.Розв’язати в цілих числах: ac+bc=10bc. Відповідь: (a=8;
b=4; c=2).
3.Розв’язати в цілих числах: aa+ba=10(b-1)-a. Відповідь: (a=2; b=8).
4.Розв’язати в цілих числах: aс+bс=10b. Відповідь: (a=3; b=9; c=2).
Розв’язати в цілих числах: aba =(a-1)c+(b+a)c. Відповідь:
a1=2, b1=5.
5.Розв’язати в цілих числах: aa+ba=10aa. Відповідь:
a1=2, b1=6.
6.Розв’язати в цілих числах: aa+ba=5b. Відповідь:
a1=2, b1=4.
7.Розв’язати в цілих числах: (1+n)n-1+(n)(n+1)=97. Відповідь: n=3.
Немає коментарів:
Дописати коментар