Рівняння в цілих числах: k^m*m^k=-1

Розв’язати рівняння в цілих числах:    

   k^mm^k=1.

Розв’язання. Випадок: 1)

k=m;  

(k^k)²=1;

k^k=1; k^k=-1;

k=1,   (1; 1)

k=-1.  (-1; -1)

Випадок: 2). Відомо, що  k^mm^k=1;  

k^m=1 і m^k=1;  

1*1=1;   

k^m=1;   ln(k)^m=ln(1);   m*ln(k) =0; 

m₁=0; k₁- ціле число;  (k;0)  

m₂- ціле число; k₂=1; (1;m)

ціпари не задовольняють початкового рівняння

m^k=1;   ln(m)^k=ln(1);   k*ln(m) =0; 

m₁=0; k₁- ціле число;  (0;m)  

m₂- ціле число; k₂=1;  (k;1)

ці пари не задовольняють початкового рівняння

Випадок: 3).  (-2)⁴*(4)^-2= 16*(1/16)=1;  

(-2)²*2^-2=4*(1/4)=1

(-4)⁴*4^-4=256*(1/256)=1

 k=-2n;   m=2n;  (-2n; 2n)

(-2)²*2^-2=4*(1/4)=1;

(-4)⁴*4^-4=256*(1/256)=1;

(-2k)^2k(2k)^-2k=2k^2k *(1/(2k^2k))=1;

Відповідь:

(1; 1); (-1; -1);

(-2n; 2n); (2n; -2n);

 (-2; 4); (-4;2).  

Завдання для самостійної роботи:

1.Розв’язати рівняння в цілих числах:     

  k^mm^k=-1.   
2.Довести, що  рівняння  в цілих числах:
k^mm^k=n

 для довільних цілих  n завжди має хоча б одну трійку (k;m;n), що задовольняє рівняння.