тести для факультативу ГЕОМЕТРІЯ ТРИКУТНИКА

Пояснювальна записка

 Посібник  тестів "Геометрія трикутника" є методичним забезпеченням  факультативних занять з математики в середніх навчальних закладах. Зміст матеріалу посібника відповідає програмі факультативних курсів з математики, що затверджені Міністерством освіти України в 2017  році. Даний посібник призначений для роботи в профільних класах природничо-математичного на­прямку. У 2017/2018 навчальному році буде розпочато апробацію підручника на факультативах в 7-8-9-х профільних класах міста Вінниці.

Метою  публікації даного методичного посібника є  ознайомлення педогогів міста з креативними технологіями у навчальному процесі, надання методичної допомоги  вчителям математики, які працюють або працюватимуть за інтерактивною методикою, у технологічному моделюванні навчально-інформаційного середовища, в  організації  самоконтролю і системного зовнішнього контролю за досягненнями учнів.

Автори  посібника виходять з того, що гео­метрія, як точна наука, допомагає людині системно  сприй­мати  навколишній світ. Розвиваюча мета навчання за посібником сприятиме  формуванню  цілісної гами уяв­лень про трикутник на площині, удосконалення навичок і умінь застосувати властивості трикутників при розв'язу­ванні практичних завдань.

 Значення креативних і особістисно-орієнтовних підходів ще вагоміше, якщо враховувати  профільну спрямованість сучасної старшої школи. Автори  врахували та зважили основні вимоги користувачів навчальними посібниками. Ос­новними користувачами даного методичного посібника  стануть, у пере­важній більшості, вчителі математики. Проте цей посібник сформовано як підручник  для учнів, які поглиблено вивчатимуть математику. Тому в посібнику велику увагу приділено формуванню просторових та площинних уявлень і навичок у процесі розв'я­зування творчих задач.  В центрі уваги авторів посібника була системна реалізація виховних цілей, які здійснюється на заса­дах методології математичного моделювання. Зок­рема,  концепція розвиваючого та креативного навчання передбачає оволодіння учнями  способами розв’язання проблеми досліджень. Саме через педагогічне моделю­вання навчальної проблеми реалізується  в посібнику системні дослідження властивостей трикутника,  через  формування уявлень про абстрактну модель (геометричну фігуру),  це сприяє ґрунтовному засвоєнню опорних понять про неї,  особливо, під час вивчення інваріантних властивостей у певному контексті (зокрема, динамічному).

Реалізуючи завдання розвитку логічного мис­лення учнів, автори посібника не зводили його до зав­дання формально-логічної побудови аксіоматичної теорії геометрії трикутника (та її неможливо у повному обсязі реалізувати на рівні середньої школи). Практична реалізація традиційних і нових педагогічних технологій , їх використання  при масовому вивченні математики розглядаються у   формах  інтерактивного засвоєння учнями програмового матеріалу. Проте , у більшості випадках (особливо на факультативних заняттях та гуртках),  математична задача  являється  засобом для доцільного розвитку  логічного мислення, через  обгрунтування істини, як основної характеристики пізнавального процесу. Без сумніву,  сучасна математична задача  є  носієм великої навчальної інформації, а конкретніше навчальних функцій  (навчання, виховання, розвитку, організації, контролю). На думку авторів,  відмова від розв’язування нестандартних задач на факультативах з математики або суто формальний підхід до їх розв’язання  дуже небезпечно для процесу формування в учнів творчих здібностей.

Для підвищення ефективності розвиваючого навчання автор запропонував систематизовані серії задач, які  разом з дидактичними функціями спрямованні на формування в учнів творчого мислення. 

У посібнику підібрано такі задачі, в процесі розв’язання яких:

·          учням мотивується  доцільність вивчення нового матеріалу, здоровий глузд геометричних визначень, корисність обґрунтування властивостей трикутників;

·          учні залучаються до самостійного відкриття того чи іншого геометричного факту, до застосування  обґрунтованих положень у нових ситуаціях;

·          учні послідовно  підходять до самостійного використання способів доведення теорем, до встановлення  нових зв’язків  між відомими їм геометричними поняттями;

·          в учнів формуються навички та уміння використовувати основні методи наукового пізнання (досвід, дослід, спостереження, порівняння, аналогія, аналіз, синтез, узагальнення, систематизація та  інтуїція);

·          учні виявляють взаємозв’язок між алгеброю та геометрією.

·          учні залучаються  до  самостійних пошукових  досліджень за допомогою системного вивчення розв’язків та отриманих результатів, зміни умови та узагальнення задач, пошук різних способів та вибір серед них найоптимальнішого, який у повному обсязі задовольняє умовам поставленої задачі;

·          в учнів формується якісна інтелектуальна  сфера розвитку мислення (активність, гнучкість, глибина, критичність, доказовість  та ін.) .

У нашому посібнику методично у повному обсязі розроблені заняття з розширеним теоретичними та дидактичним матеріалом. Дидактичний  матеріал розподілено на секції за рівнями. За власним бажанням вчитель може добирати з різних секцій  і формувати свій банк диференційованих задач, у відповідності до поставлених цілей. Автори посібника щиро бажають успіхів усім користувачам посібника  і вдячні усім, хто не тільки використовуватиме наші методичні рекомендації, а й  поділиться власним досвідом у  роботі над  подібними розробками.  Відгуки на цей посібник  просимо надсилати на e-mail: vinnser@rambler.ru.

ТЕСТ 001

Початковий курс пошукачів різноманітних властивостей трикутників

Начало формы

1. У будь-якого трикутника на площині напроти більшого кута лежить ...

усі три наступні відповіді хибні;
тільки менша сторона трикутника;
тільки середня сторона трикутника;
тільки більша сторона трикутника.

Конец формы

2. У будь-якого трикутника на площині напроти меншого кута лежить ...

Начало формы

тільки менша сторона трикутника;
тільки середня сторона трикутника;
тільки більша сторона трикутника;
будь-яка сторона трикутника.

Конец формы

3. У будь-якого трикутника на площині напроти середнього кута лежить ...

Начало формы

тільки більша сторона трикутника;
тільки менша сторона трикутника;
тільки середня сторона трикутника;
будь-яка сторона трикутника.

Конец формы

4.Довжина найбільшої сторони трикутника на площині

Начало формы

завжди дорівнює сумі довжин двох інших сторін;
завжди менша суми довжин двох інших сторін;
завжди більша суми довжин двох інших сторін;
не менша суми довжин двох інших сторін.

Конец формы

5.Вершини трикутника на площині - це

Начало формы

три-вимірні точки на площині, що не лежать на одній прямій;
одно-вимірні точки на площині, що лежать на одній прямій;
нуль-вимірні точки на площині, що не лежать на одній прямій;
дво-вимірні точки на площині, що лежать на одній прямій.

Конец формы

6.Три задані точки на площині, що не лежать на одній прямій, визначають

Начало формы

тільки один трикутник;
лише два трикутника;
лише три трикутник;
безліч трикутників.

Конец формы

7. На довільно взятих трьох відрізках можна утворити трикутник.

Начало формы

Це твердження виконується тільки в окремих випадках;
Це твердження завжди виконується;
Це твердження виконується, якщо відрізки мають різний напрям;
Це твердження завжди виконується, якщо довжини відрізків відносяться 1:2:3.

Конец формы

8. Сторони трикутника - належать до основних елементів трикутника? Яке твердження завжди правильне?

Начало формы

Сторони – це три-вимірні елементи трикутника.
Сторони – це нуль-вимірні елементи трикутника.
Сторони – це двовимірні елементи трикутника.
Сторони – це одновимірні елементи трикутника.

Конец формы

9.Сторони трикутника являються межею для внутрішньої та зовнішньої частин трикутника. Яке твердження завжди правильне?

Начало формы

Внутрішня область трикутника – це нуль-вимірний елемент трикутника.
Внутрішня область трикутника – це одновимірний елемент трикутника.
Внутрішня область трикутника – це двовимірний елемент трикутника.
Внутрішня область трикутника – це тривимірний елемент трикутника.

Конец формы

10. На площині однозначно трикутники можна задати ...

Начало формы

відрізком та точкою, яка не лежить на прямій, що містить цей відрізок;
двома відрізками різної довжини;
двома точками, що лежать по різні боки від даного відрізка;
двома прямими, що перетинаються під тупим кутом.

Конец формы

11. Класифікацію трикутників можна здійснювати за кількістю рівних сторін. Яке твердження правильне?

Начало формы

Трикутник з різними довжинами трьох сторін називають різностороннім трикутником;
Трикутник з двома різними сторонами називається рівнобедреним трикутником;
Правильним (рівностороннім) трикутником називають трикутник з двома рівними сторонами;
Усі три попередні відповіді хибні.

Конец формы

12.Сума кутів трикутника рівна величині розгорнутого кута. Яке твердження для трикутника на площині правильне?

Начало формы

Будь-які три гострі кути не завжди будуть кутами трикутника.
Деякі два гострі кути не будуть кутами деякого трикутника.
Будь-які три тупі кути завжди будуть кутами трикутника.
Будь-які три гострі кути завжди будуть кутами трикутника.

Конец формы

13. Установіть відповідність між  подібними трикутниками  та їхніми  коефіцієнтами подібності, якщо АВС – прямокутний трикутник, кут АСВ – прямий, CD -  висота трикутника АВС. 1. Трикутник АВС і трикутник АCD, c/b =? А) k=cosB 2. Трикутник АВС і трикутник CBD, c/a =? Б) k=1:sinB 3. Трикутник АDС і трикутник CDB, b/a =? В) k=sinA 4. Трикутник ВСD і трикутник BAC, a/c =? Г) k=1:sinA 5. Трикутник  АCD і трикутник  АВС, b/c =? Д) k=cosA Е) k=tgB 1 4. Установіть відповідність між  властивостями двох трикутників FST та PКТ, якщо АВ ||СD – прямі паралельні, SТ=2РК=8 cм, кут AFT = 120o. 1. Трикутник SFT,  SF =? А) 4((13+2(3)0,5)0,5 2. Трикутник PКТ , ТК =? Б) 4(3)0,5 см 3. Трикутник  SFT, FT =? В) 8(3)0,5 см 4. Трикутник PKT, PT =? Г) 8 см 5. Трикутник  FTK, FK =? Д) 4 см Е) 4((13-2(3)0,5)0,5 ТЕСТ 002

Початковий курс пошукачів різноманітних властивостей трикутників

Начало формы

1. Напроти рівних кутів трикутника знаходяться ...

різні сторони трикутника;
тільки менші сторони трикутника;
тільки середні сторони трикутника;
рівні сторони трикутника.

Конец формы

2. Міра найбільшого кута трикутника покладена в основу класифікації трикутників за кутами. Яке означення є правильним?

Начало формы

Трикутник називають тупокутним, якщо величина найбільшого кута цього трикутника більша 90^o.
Трикутник називають прямокутним,якщо величина найбільшого кута цього трикутника менша 90^o.
Трикутник називають гострокутним, якщо величина найбільшого кута цього трикутника рівна 92^o.
Трикутник називають рівнокутним, якщо величина найбільшого кута цього трикутника рівна 59^o.

Конец формы

3. До трикутників застосовують одночасно дві класифікації, як за кількістю рівних довжин сторін, так і за величиною найбільшого кута. Якого трикутника не існує на площині?

Начало формы

тупокутного різностороннього трикутника;
тупокутного рівнобедреного трикутника;
прямокутного рівносторонього трикутника;
прямокутного рівнобедреного трикутника.

Конец формы

4.3овнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів трикутника, не суміжних з ним. Який вид трикутника із зовнішніми кутами: 130^o, 120^o,110^o?

Начало формы

Різносторонній тупокутний трикутник.
Різносторонній гострокутний трикутник.
Різносторонній кривокутний трикутник.
Різносторонній прямокутний трикутник.

Конец формы

5. Щоб побудувати шість зовнішніх кутів трикутника, варто ...

Начало формы

продовжити дві сторону трикутника в обидва боки;
продовжити одну сторону трикутника в обидва боки;
продовжити кожну сторону трикутника в обидва боки;
продовжити кожну сторону трикутника в один бік.

Конец формы

6.Сума шести зовнішніх кутів трикутника рівна ...

Начало формы

720^o;
180^o;
360^o;
760^o;

Конец формы

7. Яка властивість не притаманна зовнішнім кутам довільного трикутника?

Начало формы

Зовнішні кути трикутника утворюють відношення 1:2:3.
Будь-який зовнішній кут трикутника рівний сумі двох внутрішніх кутів трикутника, які не суміжні до нього.
Зовнішні кути трикутника утворюють пари рівних кутів, якщо вони мають спільну вершину.
Зовнішній кут трикутника більший від будь-якого внутрішнього кута, не суміжного з ним.

Конец формы

8. Медіана трикутника – це відрізок, що з’єднує вершину трикутника та середину протилежної сторони. Яка властивість не притаманна медіанам довільного трикутника?

Начало формы

Кожна медіана трикутника лежить всередині трикутника, а в точці перетину медіан ділиться на частини рахуючи від вершини, як 2:1, тобто довша частинка медіани вдвічі більша , ніж коротша частинка, яка становить третю частинку від усієї довжини медіани.
Завжди можна відновити трикутник за трьома його медіанами.
Якщо з’єднати точку перетину медіан трикутника з вершинами, то трикутник розбивається на три рівновеликі трикутники, тобто у цих трикутників рівні площі.
Не існує трикутник, сторони якого рівні та паралельні медіанам даного трикутника.

Конец формы

9.Яка властивість не притаманна медіанам довільного трикутника?

Начало формы

Площа трикутника, що складений з медіан даного трикутника, рівна три чверті площі даного трикутника.
Медіана прямокутного трикутника, що проведена до найдовшої сторони, рівна половині цієї сторони та розділяє прямокутний трикутник на два рівнобедрені трикутники.
Медіани трикутника розрізають його на шість рівновеликих частин.
Якщо відомі довжини трьох сторін трикутника, то можна знайти довжини трьох медіан цього трикутника.

Конец формы

10.Бісектриса трикутника – це відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину трикутника з точкою на протилежній стороні. Яка властивість не притаманна бісектрисам довільного трикутника?

Начало формы

У прямокутному трикутнику бісектриса найбільшого кута не ділить навпіл кут між найменшою висотою і найменшою медіаною.
У рівнобедреному трикутнику, якщо бісектриса проведена до основи обов’язково поділить навпіл крім кута і сторону, яку перетинає.
Будь-яка бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам трикутника.
Усі три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, рівновіддаленій від трьох сторін трикутника, тобто, точка перетину бісектрис – це центр кола, що вписаний в трикутник.

Конец формы

11. Яка властивість не притаманна бісектрисам довільного трикутника?

Начало формы

У довільному трикутнику бісектриса не проходить між висотою та медіаною трикутника.
Продовження бісектрис внутрішніх кутів трикутника проходить через центри зовні вписаних кіл(коло, яке дотикається до однієї сторони та до продовження двох інших сторін трикутника), які являються точками перетину бісектрис зовнішніх кутів цього трикутника.
Центральний кут вписаного в трикутник кола, сторони якого проходять через вершини трикутника, рівний сумі прямого кута та половині кута через який не проходять сторони центрального кута.
Бісектриса зовнішнього кута трикутника перетинає продовження протилежної сторони в точці, відстані від якої до кінців цієї сторони пропорційні прилеглим сторонам.

Конец формы

12.Висота трикутника – це перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону трикутника. Яка властивість не притаманна висотам довільного трикутника?

Начало формы

У прямокутному трикутнику точка перетину висот(ортоцентр) співпадає з вершиною прямого кута. у тупокутному трикутнику ортоцентр знаходиться зовні трикутника за вершиною тупого кута, в гострокутному трикутнику ортоцентр знаходиться в середині трикутника ближче до вершина більшого кута.
У тупокутному трикутнику точка перетину висот, тобто ортоцентр, знаходиться зовні трикутника за вершиною тупого кута.
Найбільша висота трикутника проведена до його найбільшої сторони, а найменша висота до найменшої сторони цього трикутника.
 У гострокутному трикутнику ортоцентр знаходиться в внутрішній області трикутника.

Конец формы

ТЕСТ 003

Початковий курс пошукачів різноманітних властивостей трикутників

Начало формы

1. Середньою лінією трикутника називається відрізок, який сполучає середини двох його сторін. Яка властивість не притаманна середнім лініям трикутника?

Середня лінія трикутника паралельна стороні трикутника.
Середня лінія трикутника рівна половині стороні, яка паралельна до неї.
За середніми лініями можна відновити трикутник.
Кути трикутника, що утворений середніми лініями, не рівний відповідними кутам даного трикутника.

Конец формы

2. Яка властивість не притаманна середнім лініям трикутника?

Начало формы

Середні лінії не розрізають висоту, медіану, бісектрису навпіл.
Середні лінії розрізають будь-який трикутник на чотири рівні між собою трикутники.
Площа трикутника, що утворений середніми лініями рівна чверті площі даного трикутника.
Півпериметр трикутника рівний периметру трикутника, що утворений середніми лініями цього трикутника.

Конец формы

3. Два трикутники називають рівними якщо у них відповідно рівні три сторони та відповідно рівні три кути. Яка властивість не притаманна рівним трикутника?

Начало формы

Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого трикутника то такі трикутники рівні.
Якщо сторона та прилеглі до неї кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні та прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Якщо три кути одного трикутника дорівнюють відповідно трьом кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють відповідно трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні.

Конец формы

4.Яка властивість не притаманна рівним трикутника?

Начало формы

У рівних трикутників всі відповідні лінійні елементи(медіани, висоти, бісектриси, середні лінії) рівні.
Усі рівнобедрені прямокутні трикутники рівні між собою, бо у них рівні гострі кути.
У рівних трикутників проти рівних сторін лежать рівні кути, а проти рівних кутів лежать рівні сторони.
Рівні трикутники можна переводити один в один за допомогою руху, тобто накладати і трикутники спіпадають.

Конец формы

5. Трикутник, у якого дві рівні сторони, називається рівнобедреним. Дві рівні сторони називаються бічними сторонами трикутника, а третя сторона називається основою рівнобедреного трикутника. Яка властивість непритаманна рівнобедреним трикутникам?

Начало формы

Рівнобедрений трикутник має вісь симетрії, котра містить в собі висоту, медіану, бісектрису, що проведені до основи.
У рівнобедреного трикутника висота, медіана, бісектриса, що проведені до основи, співпадають.
Рівнобедрений трикутник не може мати три рівні сторони.
У рівнобедреного трикутника кути при основі рівні.

Конец формы

6.Яка властивість непритаманна рівнобедреним трикутникам?

Начало формы

У рівнобедреного трикутника бісектриси та висота, що проведені до бічних сторін, рівні між собою.
У рівнобедреного трикутника бісектриси, що проведені до бічних сторін рівні.
У рівнобедреного трикутника висоти, що проведені до бічних сторін рівні.
У рівнобедреного трикутника медіани, що проведені до бічних сторін рівні.

Конец формы

7. Яка властивість непритаманна рівнобедреним трикутникам?

Начало формы

Зовнішні кути рівнобедреного трикутника утворюють відношення 4:2:3.
Серед будь-яких трьох зовнішніх кутів рівнобедреного трикутника знайдеться два рівних між собою кути.
Висота, що проведена до основи рівнобедреного трикутника, розрізає його на два рівних трикутника.
Рівнобедрений прямокутний трикутник має найбільшу площу, серед усіх неправильних трикутників з двома рівними кутами.

Конец формы

8. Яка властивість непритаманна довільному прямокутному трикутнику?

Начало формы

У прямокутному трикутнику сума гострих кутів рівна прямому куту.
Рівнобедрений прямокутний трикутник має рівні гострі кути з величиною половини прямого кута.
У прямокутному трикутнику напроти кута 30 градусів лежить катет, що дорівнює половині гіпотенузи.
Прямокутні трикутники, що мають рівні площі, мають рівні висоти.

Конец формы

9.Яка властивість непритаманна довільному прямокутному трикутнику?

Начало формы

Площа прямокутного трикутника рівна половині добутку його катетів.
У прямокутному трикутнику медіана, що проведена до гіпотенузи рівна половині гіпотенузи.
Медіани прямокутного трикутника розрізають його на шість рівновеликих частин.
У прямокутному трикутнику кут між бісектрисами гострих кутів рівний 135 градусів.

Конец формы

10. Яка властивість непритаманна довільному прямокутному трикутнику?

Начало формы

У прямокутний трикутник не можна помістити коло, радіус якого менше такої величини: від півсуми катетів відняти половину гіпотенузи.
У прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута ділить кут між медіаною та висотою, що проведені з вершини прямого кута навпіл.
У прямокутному трикутнику висота, що проведена з прямого кута розділяє трикутник його на два прямокутних трикутники, у яких рівні кути
У прямокутному трикутнику медіана, що проведена з прямого кута розділяє трикутник його на два необов’язково рівних рівнобедрених трикутники.

Конец формы

11. Яка властивість непритаманна довільному прямокутному трикутнику?

Начало формы

У довільному прямокутному трикутнику висота проходить між бісектрисою та медіаною трикутника.
У прямокутному трикутнику кут між медіаною та висотою, що проведені з вершини прямого кута дорівнює різниці гострих кутів трикутника.
У прямокутному трикутнику кут між медіаною та бісектрисою, що проведені з вершини прямого кута дорівнює піврізниці гострих кутів трикутника.
У прямокутному трикутнику кут між бісектрисою та висотою, що проведені з вершини прямого кута дорівнює піврізниці гострих кутів трикутника.

Конец формы

12. Яка властивість непритаманна довільному прямокутному трикутнику?

Начало формы

У прямокутному трикутнику центр описаного кола лежить в центрі гіпотенузи, а радіус цього кола дорівнює половині гіпотенузи.
У прямокутному трикутнику центр вписаного кола лежить в точці перетину двох бісектрис, а радіус цього кола дорівнює половині сумі катетів без гіпотенузи.
Найбільша висота прямокутного трикутника проведена з вершини найбільшого кута, а найменша висота - з вершини найменшого кута цього трикутника.
У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів його катетів.

ТЕСТ 004

Початковий курс пошукачів різноманітних властивостей трикутників

Начало формы

1. Коло називається описаним навколо трикутника, якщо воно містить три сторони трикутника у внутрішній частинi, і три вершини трикутника лежать на колі. Яка властивість притаманна описаному колу навколо трикутника?

Навколо тупокутного трикутника можна описати декілька кіл.
Сторона трикутника і протилежний кут до сторони трикутника однозначно визначають довжину радіуса описаного кола.
Центр кола описаного навколо гострокутного трикутника знаходиться у вершині цього трикутника.
Якщо на стороні трикутника знаходиться центр описаного кола, то цей трикутник прямокутний.

Конец формы

2. Яка властивість непритаманна описаному колу навколо трикутника?

Начало формы

Перетин трьох середніх ліній трикутника визначають центр описаного кола.
У тупокутному трикутнику центр описаного кола – це точка, яка лежить за межами внутрішньої частини трикутника.
У гострокутному трикутнику центр описаного кола знаходиться в середині трикутника
Центр описаного кола лежить в точці перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника.

Конец формы

3. Коло називається вписаним в трикутник, якщо воно дотикається трьох сторін трикутника з внутрішньої частини. Яка властивість непритаманна вписаним колам в трикутник?

Начало формы

Радіус вписаного кола в трикутник дорівнює подвоєній площі трикутника поділеній на периметр.
Якщо радіус проведений до точки дотику трикутника з колом, то він перпендикулярний до сторони трикутника.
Точка перетину медіан трикутника визначає центр вписаного кола.
Центр вписаного в трикутник кола знаходиться в точці перетину бісектрис трикутника.

Конец формы

4. Яка властивість непритаманна вписаним колам в трикутник?

Начало формы

У прямокутному трикутнику радіус вписаного кола рівний півсумі катетів без гіпотенузи.
Якщо продовження висоти кута С трикутника АВС перетинає описане коло цього трикутника в точці М, то відстані від точки М до центра вписаного кола рівна відстані від точки М до двох других вершин, тобто МО=МВ=МВ, де О – центр вписаного кола.
Якщо АВ – основа рівнобедреного трикутника АВС, то коло, що дотикається сторін кута АСВ у точках А та В, проходить через центр вписаного в цей трикутник кола.
Якщо пряма, що проходить через центр вписаного кола паралельна стороні АВ, то вона перетинає сторони ВС та АС у точках А1 та В1 відповідно, а відстань А1В1 = А1В + АВ1.

Конец формы

5. Два трикутники називаються подібними, якщо сторони одного трикутника відповідно пропорційні сторонам другого та їхні відповідні кути рівні.Яка властивість непритаманна подібним трикутникам?

Начало формы

Два трикутники подібні, якщо два кути одного трикутника відповідно рівні двом кутам другого трикутника.
Два трикутники подібні, якщо три сторони одного трикутника відповідно пропорційні двом сторонам другого трикутника
Існують рівні трикутники, що не подібні.
Усі рівнобедрені прямокутні трикутники подібні між собою.

Конец формы

6.Яка властивість непритаманна подібним трикутникам?

Начало формы

У подібних трикутників рівні периметри.
Два трикутники подібні, якщо сторони одного відповідно паралельні сторонам другого.
Два трикутники подібні, якщо сторони одного відповідно перпендикулярні сторонам другого.
Усі рівносторонні трикутники подібні.

Конец формы

7. Яка властивість непритаманна подібним трикутникам?

Начало формы

Відповідні зовнішні кути подібних трикутників можуть бути не рівними.
Найменша висота прямокутного трикутника розрізає його на два подібних трикутника.
Три висоти гострокутного трикутника розрізають його на три пари подібних трикутників.
Рівнобедрений прямокутний трикутник має найбільшу площу, серед усіх неправильних трикутників з двома рівними кутами.

Конец формы

8. Яка властивість непритаманна подібним трикутникам?

Начало формы

Пряма, що паралельна стороні трикутника і перетинає дві інші сторони цього трикутника відтинає від нього трикутник, що подібний до даного.
Площі двох подібних трикутників відносяться, як квадрати відповідних лінійних елементів.
Дві діагоналі квадрату розрізають його на подібні трикутники
Прямокутні трикутники, що мають рівні площі, подібні.

Конец формы

9.Яка властивість непритаманна довільному прямокутному трикутнику?

Начало формы

Площа прямокутного трикутника рівна половині добутку його катетів.
У прямокутному трикутнику медіана, що проведена до гіпотенузи рівна половині гіпотенузи.
Медіани прямокутного трикутника розрізають його на шість рівновеликих частин.
У прямокутному трикутнику кут між бісектрисами гострих кутів рівний 135 градусів.

Конец формы

10. Яка властивість непритаманна довільному прямокутному трикутнику?

Начало формы

У прямокутний трикутник не можна помістити коло, радіус якого менше такої величини: від півсуми катетів відняти половину гіпотенузи.
У прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута ділить кут між медіаною та висотою, що проведені з вершини прямого кута навпіл.
У прямокутному трикутнику висота, що проведена з прямого кута розділяє трикутник його на два прямокутних трикутники, у яких рівні кути
У прямокутному трикутнику медіана, що проведена з прямого кута розділяє трикутник його на два необов’язково рівних рівнобедрених трикутники.

Конец формы

11. Яка властивість непритаманна довільному прямокутному трикутнику?

Начало формы

У довільному прямокутному трикутнику є середня лінія, яка не перетинає висоту.
Два прямокутних трикутники подібні, якщо гострий кут одного трикутника відповідно рівний гострому куту другого трикутника.
Два прямокутні трикутники подібні, якщо два катети одного трикутника відповідно пропорційні двом катетам другого трикутника.
Два прямокутні трикутники подібні, якщо гіпотенуза і катет одного трикутника відповідно пропорційні гіпотенузі і катету другого трикутника.

Конец формы

12. Яка властивість непритаманна довільному прямокутному трикутнику?

Начало формы

У прямокутному трикутнику квадрат висоти, що проведена до гіпотенузи, рівний добутку проекцій катетів на гіпотенузу.
У прямокутному трикутнику квадрат катета рівний добутку довжини проекції цього катета на гіпотенузу на довжину гіпотенузи.
У прямокутному трикутнику площа кола побудованого на гіпотенузі, як на діаметрі,не дорівнює сумі площ кіл, що побудовані на його катетах, як на діаметрах.
У прямокутному трикутнику центр вписаного кола лежить в точці перетину двох бісектрис, а радіус цього кола дорівнює половині сумі катетів без гіпотенузи.

14. Які  з тверджень  хибні:

1. Якщо у трикутнику АВС проведені висоти AК і ВM, то трикутники АКС та ВМС подібні.

2.  Якщо у трикутнику АВС  точка Н перетин  AК і ВM, то трикутники НКВ та НМА  подібні.

3. Якщо у трикутнику АВС проведені висоти AК, СР  і ВM, то трикутники АКС та КМР подібні.

4.  Якщо у паралелограма АВСD  проведені висоти BH, BK  , то трикутники НAВ та KCB  подібні.

5.  Якщо у трапеції  АВСD (AD|| BC) точка Н перетин  AС і ВD, то трикутники AНD та CНD  подібні.

А	Б	В	Г	Д
1	2	3	4	5

Конец формы

ТЕСТ 005

Початковий курс пошукачів різноманітних властивостей трикутників

Начало формы

1. Яка властивість непритаманна прямокутному трикутнику?

Прямокутний трикутник можна розрізати на три тупокутних трикутники.
Прямокутний трикутник можна розрізати на гострокутні трикутники.
Прямокутний трикутник можна розрізати на рівнобедрені трикутники
У прямокутному трикутнику площа квадрату побудованого на гіпотенузі, як на стороні, не дорівнює сумі площ двох квадратів, що побудовані на його катетах, як на сторонах.

Конец формы

2. Яка властивість непритаманна прямокутному трикутнику?

Начало формы

Прямокутний трикутник можна розрізати на паралелограми.
Прямокутний трикутник можна розрізати на три чотирикутники, діагоналі яких перпендикулярні.
У прямокутному трикутнику, якщо гострі кути відносяться, як 1:3, то бісектриса прямого кута рівна одному з катетів цього трикутника.
Прямокутний трикутник можна розрізати на три трапеції.

Конец формы

3. Яка властивість непритаманна прямокутному трикутнику?

Начало формы

У прямокутному трикутнику, якщо висота, проведена на гіпотенузу, ділить її на відрізки, різниця яких рівна одному з катетів трикутника, то гострі кути відносяться, як 1:2.
У прямокутному трикутнику, якщо сторони утворюють арифметичну прогресію, то різниця цієї прогресії рівна радіусу вписаного в цей трикутник кола.
У прямокутному трикутнику, якщо гострі кути відносяться, як 1:2, то медіана прямого кута не дорівнює одному з катетів цього трикутника.
Висота, що виходить з вершини прямого кута трикутника, рівна добутку катетів, поділеному на гіпотенузу.

Конец формы

4. Яка властивість непритаманна прямокутному трикутнику?

Начало формы

Відношення проекцій катетів на гіпотенузу дорівнює відношенню квадратів катетів.
Якщо сторона трикутника являється діаметром його описаного кола, то протилежний їй кут – не прямий, тобто трикутник непрямокутний.
Якщо квадрат найдовшої сторони трикутника рівний сумі квадратів двох інших сторін цього трикутника, то трикутник прямокутний.
Сума площ „місяців”, що лежать між дугою напівкола, яке побудоване на гіпотенузі як на діаметрі, і дугами кіл, що побудовані на катетах як на діаметрах, дорівнює площі даного трикутника.

Конец формы

5. Яка властивість непритаманна прямокутним трикутникам?

Начало формы

У прямокутному трикутнику з гострим кутом 30 градусів бісектриса середнього кута ділить середню сторону у відношенні 1:2 починаючи від вершини прямого кута.
У прямокутному трикутнику з гострим кутом 30 градусів найменша висота рівна половині більшого катета.
У прямокутному трикутнику з гострим кутом 30 градусів найменша висота не ділить гіпотенузу у відношенні 3:1, починаючи з вершини меншого кута.
У прямокутному трикутнику з гострим кутом 75 градусів найменша висота рівна чверті гіпотенузи.

Конец формы

6.Яка властивість непритаманна прямокутним трикутникам?

Начало формы

У прямокутних трикутників для середніх ліній не виконується теорема Піфагора.
У прямокутних трикутників для висот не виконується теорема Піфагора.
У прямокутних трикутників для медіан не виконується теорема Піфагора.
У прямокутних трикутників для бісектрис не виконується теорема Піфагора.

Конец формы

7. Яка властивість непритаманна прямокутним трикутникам?

Начало формы

У прямокутному трикутнику з гострим кутом 75 градусів найменша висота не дорівнює половині радіуса описаного кола.
У прямокутному трикутнику з гострим кутом 15 градусів квадрат найменшої висоти рівний половині площі трикутника.
У прямокутному трикутнику з гострим кутом 60 градусів кожна сторона поділена точкою на дві частини у відношенні 1:2, починаючи з вершини більшого кута. Ці три точки поділу сторін утворюють правильний трикутник.
Площа правильного трикутника із попереднього твердження становить дві дев’ятих площі прямокутного трикутника.

Конец формы

8. Яка властивість непритаманна прямокутним трикутникам?

Начало формы

У прямокутному трикутнику з гострим кутом 60 градусів кожна сторона поділена точкою на дві частини у відношенні 1:2, починаючи з вершини більшого кута. Ці три точки поділу сторін є точками дотику вписаного кола в даний прямокутний трикутник.
У прямокутному трикутнику з гострим кутом 60 градусів найменша висота ділить бісектрису середнього кута навпіл.
У прямокутному трикутнику з гострим кутом 60 градусів найменша медіана перпендикулярна до бісектриси середнього кута.
Якщо площа прямокутного трикутника дорівнює добутку катетів, поділеному на гіпотенузу, то гіпотенуза не дорівнює 2 од. довж.

Конец формы

9.Яка властивість непритаманна довільному прямокутному трикутнику?

Начало формы

У прямокутному трикутнику з гострим кутом 600 бісектриса середнього кута ділить навпіл найменшу медіану.
У прямокутному трикутнику медіана, що проведена до гіпотенузи рівна половині гіпотенузи.
Кут між бісектрисами двох гострих кутів прямоктного трикутника дорівнює 35 градусів.
У прямокутному трикутнику найменша медіана ділить навпіл площу цього трикутника.

Конец формы

10. Яка властивість непритаманна довільному трикутнику?

Начало формы

Якщо медіана і висота виходять з однієї вершини, то ця медіана не може бути в двічі більше, ніж дана висота.
У будь-якому трикутнику точка перетину медіан і точка перетину висот лежать на одній прямій з центром описаного кола.
Середини сторін трикутника і основи висот та середини відрізків, що з’єднують точку перетину висот з вершинами трикутника, лежать на одному колі.
Три прямі, що проведені через середини сторін відповідно паралельно бісектрисам протилежних кутів, перетинаються в одній точці.

Конец формы

11. Яка властивість непритаманна довільному трикутнику?

Начало формы

В трикутнику АВС проведені трисектриси кутів, тобто промені, що розділяють кути на три рівні частини. Найближчі до сторони ВС трисектриси кутів В та С перетинаються в точці А1. Аналогічно визначаємо точки В1 та С1. Трикутник А1В1С1 – тупокутний.
В середині трикутника АВС взято довільну точку Р, яку з’єднано з вершинами трикутника АВС. Якщо побудувати трикутник зі сторонами, що паралельні цим відрізкам та через його вершину провести прямі, які паралельні сторонам трикутника АВС, то вони перетинаються в одній точці.
Три прямі, що симетричні медіанам трикутника АВС відносно відповідних бісектрис трикутника АВС, перетинаються в одній точці.
Три прямі, що з’єднують вершини трикутника АВС та точки трикутника АВС, в яких дотикається зовні вписане коло протилежних сторін( ці прямі ділять навпіл периметр), перетинаються в одній точці.

Конец формы

12. Яка властивість непритаманна довільному багатокутнику?

Начало формы

Будь-який багатокутник можна розрізати на прямокутні трикутники.
Будь-який багатокутник можна розрізати на рівнобедрені трикутники.
Правильний шестикутник не можна розрізати на правильні трикутники.
Правильний шестикутник можна розрізати на паралелограми.

13. Квадрати побудовано  зовні на  сторонах правильного трикутника. Вибрати найкраще наближення для відношення площ двох рівносторонніх трикутників АВС, RIZ.

А	Б	В	Г	Д
1:5	1:4	1:3	1:2	1:6

14. Три квадрати побудовано  у внутрішню область на  сторонах правильного трикутника. Вибрати найкраще наближення для відношення площ двох рівносторонніх трикутників АВС, RРН.

А	Б	В	Г	Д
25:1	9:1	16:1	1:1	4:1

ТЕСТ 006

Початковий курс пошукачів різноманітних властивостей трикутників

1. Квадрат найбільшої площі вирізали трьома  прямими розрізами із правильного трикутника. Вибрати найкраще наближення для відношення площ квадрата і рівностороннього трикутника.

А	Б	В	Г	Д
1:2	1:3	1:5	1:1	1:4

2. Ромб найбільшої площі вирізали із правильного трикутника, у якого діагональ співпадає з бісектрисою трикутника. Вибрати найкраще наближення для відношення площ ромба  і правильного  трикутника.

А	Б	В	Г	Д
1:2	1:3	1:5	1:1	1:4

3. На одній стороні квадрата побудовано один правильний трикутник. Вибрати найкраще наближення для відношення площ квадрата і рівностороннього трикутника.

А	Б	В	Г	Д
1:1	2:3	2:5	2:1	1:4

4.У паралелограмі ABCD з гострого  кута  А проведено дві висоти АК та AN.  Вибрати найточніше наближення для  відношення площ трикутників  АКВ та AND,  якщо відомо  АВ=13 см, ВС =14 см, АС =15 см.

А	Б	В	Г	Д
13:14	14:13	169:196	15:14	13:15

5.У паралелограмі ABCD з гострого  кута  А проведено дві висоти АК та AN.  Вибрати  найточніше наближення для  відношення площ трикутників  АКN та ABC,  якщо відомо  АВ=13 см, ВС =14 см, АС =15 см.

А	Б	В	Г	Д
13:14	14:13	169:196	15:14	13:15

6. У трапеції АВСD (ВC||AD) діагоналі перетинаються в точці О. Бічні сторони АВ та СD перетинаються в точці F. Відношення площ трикутників ВОС та АОD  дорівнює 9:16. Вибрати  найточніше наближення для  відношення площ трикутників  ВFС та АFD.

А	Б	В	Г	Д
3:4	4:3	9:16	16:9	13:15

7. Коло з радіусом  r (r>0) і центром О  дотикаються зовнішнім чином в точці В до кола з радіусом R (R>0) і центром D. Пряма, що проходить через точку В перетинає коло (О, r) у точці А, і  перетинає коло (D, R) у точці С. Вибрати  найточніше наближення для  відношення площ трикутників  ВDС та ВОА.

А	Б	В	Г	Д
r:R	R:r	r2:R2	R2:r2	1:4

8. Коло з радіусом  r (r>0) і центром О  дотикаються внутрішнім чином в точці С до кола з радіусом R (R>0) і центром О₁. Пряма, що проходить через точку С перетинає коло (О, r) у точці F, і  перетинає коло (О₁, R) у точці A.  Друга пряма, що проходить через точку С перетинає коло (О, r) у точці D, і  перетинає коло (О₁, R) у точці B. Вибрати  найточніше наближення для  відношення площ трикутників  FDС та АBC.

А	Б	В	Г	Д
r:R	R:r	r2:R2	R2:r2	1:4

9. Коло з радіусом  r (r>0) і центром О  дотикаються зовнішнім чином в точці A до кола з радіусом R (R>0) і центром О₁. Пряма, що проходить через точку А перетинає коло (О, r) у точці В, і  перетинає коло (О₁, R) у точці F.  Друга пряма, що проходить через точку А перетинає коло (О, r) у точці С, і  перетинає коло (О₁, R) у точці D. Вибрати  найточніше наближення для  відношення площ трикутників  АFD та АBC.

А	Б	В	Г	Д
r:R	R:r	r2:R2	R2:r2	1:4

10. Коло з радіусом  r (r>0) і центром D  лежить у зовнішній області  кола з радіусом R (R>0) і центром F. Пряма АР  зовнішнім чином дотикається до кола (D, r) у точці A, і  зовнішнім чином дотикається до коло (F, R) у точці Р.  Друга пряма CS  внутрішнім  чином дотикається до кола (D, r) у точці С, і  зовнішнім чином дотикається до коло (F, R) у точці S.  Пряма АР та CS перетинаються в точці Н так, що DH =3HF.  Вибрати  найточніше наближення для  відношення площ трикутників  DCH та  FSH.

А	Б	В	Г	Д
r2:R2	2R:2r	3r:3R	R2:r2	1:9

11. У правильній трикутній зрізаній піраміді сторони основ дорівнюють  8 см і 5 см, а висота – 3 см.  Проведіть переріз через сторону нижньої основи і протилежну їй вершину верхньої основи. Визначте площу перерізу.

А	Б	В	Г	Д
34 см2	24 см2	14 см2	18 см2	36 см2

Конец формы