10 клас. ФАКУЛЬТАТИВИ З МАТЕМАТИКИ.: Дослідження степенів у класичному рівнянні

Задача. Решите в натуральных числах уравнение

${3}^{x}+{4}^{x}={5}^{x} .$

Решение. Как указано в инструкциях по решению задач на едином государственном экзамене, экзаменующийся может воспользоваться любым известным фактом или теоремой. Но здесь возникает щепетильный вопрос, знает ли о них член комиссии, прописывающий соответствующее количество баллов, если в контрольно измерительных материалах приведено другое решение. Вопрос становится актуальным, поскольку высоко квалифицированные эксперты, составляющие данные материалы допускают ошибки.

К примеру, в решении приведенной выше задачи можно было бы довольствоваться следующими рассуждениями:

1. Имеется очевидное решение x=2 представляющее собой факт из планиметрии о египетском треугольнике (прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4 и 5), легко проверяемый непосредственно подстановкой.

Материал сайта http://mathsege.ru

2. Других решений нет. И действительно, значение x=1 уравнению не удовлетворяет, в то время как из не так давно доказанной Великой теоремы Ферма о том, что для целых уравнение в целых числах не разрешимо, немедленно следует, что и другие числа, отличные от 2, в решении заданного в данной задаче, отсутствуют.

Но такое решение может показаться экзаменационной комиссии необычным настолько, что она может обнулить его оценку. И это весьма вероятно, поскольку иногда эксперты допускают, что диаметр описанной около треугольника окружности может быть меньше стороны треугольника. И тем более такому экзаменатору не так давно установленный факт превращения гипотезы Пьера Ферма в теорему может оказаться неизвестным, поскольку в школе он еще освещался не как доказанное утверждение (теорема), а как предложение ученого, сформулированное на полях арифметики Диофанта в 1637 году.

Вследствие изложенного выше придется предпринять кое-что более доступное для комиссии, а именно: провести математический эксперимент и показать, что корень заданного уравнения должен быть четным числом, и затем вспомнить про бином Ньютона

$(a+b)^m-(a^m+b^m)=C_m^1a^{m-1}b+..."C_m^{m-1}.$

Математический эксперимент заключается в вычислении остатков от деления на 4 от обеих частей уравнения. В результате получается уравнение

$(-1)^x+0=1^x,$

показывающее, что в действительности неизвестное число должно быть четным числом

$x=2m,m\ge{1}.$

Тогда исходное уравнение

$9^m+16^m=25^m$

в качестве решения может иметь только одно число m=1, поскольку для любого другого числа, как следует из вышеприведенной формулы бинома, должно наблюдаться неравенство

$(9+16)^m-(9^m+16^m) >0.$

В результате получается ответ с единственным решением

$x=2.$

Решите систему неравенств

$\begin{cases}2^{4x}-4^{x+3}\le 65,\\ \log_{x+5}{(\frac{3-x}{x})^4}+\log_{x+5}{\frac{x}{x-3}}\le 3. \end{cases}$

Решение. Как всегда для начала выписывается область допустимых чисел, где имеют смысл приведенные в предложенной системе выражения. Очевидно, левая часть первого неравенства определена на всем множестве действительных чисел, тогда как для второго неравенства должны быть введены ограничения

$\frac{x}{x-3}>0, x+5>0, x+5\ne 1, x\ne 0, x\ne 3.$

Первое ограничение определяет пару интервалов

$(-\infty,0),(3,\infty),$

второе и третье ограничение выделяют в первом интервале два новых интервала

$(-5,-4),(-4,0),(3,\infty).$

Последние ограничения выполняются автоматически. При соблюдении ограничений второе неравенство немного упрощается

$\log_{x+5}\frac{x-3}{x}\le 1.$

При потенцировании следует учесть свойство монотонности логарифмической функции, заключающееся в том, что если основание логарифма меньше единицы, то логарифмическая функция оказывается убывающей, тогда как в случае, если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция становится возрастающей. Поэтому приходится рассматривать два случая.

Материал сайта http://mathsege.ru

1. Первый случай в нашем задании

$0<x+5<1$

соответствует первому интервалу области определения, и поэтому рассматриваемое неравенство при потенцировании обеих частей должно изменить свой знак на противоположный

$\frac{x-3}{x}\ge x+5.$

Поскольку на рассматриваемом интервале знаменатель отрицателен, то при умножении обеих частей на знаменатель, знак неравенства снова меняется на противоположный

$x-3\le x(x+5).$

В результате получается неравенство

$x^2+4x+3\ge 0$

с корнями

$x_1=-3,x_2=-1$

и, следовательно, с решениями

$x\le-3,-1\le x.$

Но полученные решения рассматривается только на первом интервале области определения, и при этом оказывается, что весь рассматриваемый интервал включен в решения. Следовательно, рассматриваемый случай основания логарифма приводит к решению

$x\in(-5,-4).$

2. Оставшийся случай

$x+5>1$

при потенцировании обеих частей неравенства сохраняет знак

$\frac{x-3}{x}\le x+5.$

Приведение неравенства к виду

$\frac{(x+3)(x+1)}{x}\ge 0$

показывает, что на рассматриваемом интервале

$(-4,+\infty)$

при x<0 неравенство выполняется, если

$-3\le x\le-1,$

в противном случае для x>0 справедливость неравенства наступает, если

$x\le-3,-1\le x.$

Анализ полученных решений показывает, что на рассматриваемом интервале допустимы решения

$x\in [-3,-1]\bigcup(0,+\infty).$

Сравнивая вычисленные решения с областью определения, устанавливается, что во втором случае второе неравенство выполняется на объединении двух отрезков

$x\in [-3,-1]\bigcup(3,+\infty).$