10 клас. ФАКУЛЬТАТИВИ З МАТЕМАТИКИ.: Параметричні функції другого степеня

Задание С5. Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции

$f(x)=4x^2+4ax+a^2-2a+2$

на множестве

$1\le|x|\le 3$

не меньше 6.

Решение. Несложное и очевидное преобразование функции

$f(x)=(2x+a)^2+2(1-a)$

показывает, что при каждом значении параметра a она представляет собой параболу с вершиной в точке

$x_0=-\frac{a}{2}$

и ветвями, направленными в сторону возрастания значений функции. При этом парабола определена на всей действительной оси абсцисс, и слева от вершины расположена убывающая ветвь, справа возрастающая и в вершине парабола принимает наименьшее значение

$f(x_0)-2(1-a).$

Тогда если точка x₀ находится в одном из интервалов заданного множества

$-3\le x\le -1, 1\le x\le 3,$

то минимальное значение достигается именно в этой точке. Если же проекция вершины параболы оказывается вне указанных интервалов, то минимальное значение рассматриваемой функции достигается на одном из его концов. При этом ясно, между параметром и проекцией вершины существует взаимно однозначное соответствие, позволяющее заменить изменение параметра изменением проекции вершины параболы, помещая ее последовательно во все интервалы

Материал сайта http://mathsege.ru

$latx (-\infty,-3),(-3,-1),(-1,1),(1,3),(3,\infty), $

на которые разбита условием задачи вся числовая ось, в связи с чем возникает по числу интервалов 5 случаев возможного размещения проекции вершины параболы на оси абсцисс.

Для облегчения вычислений и большей наглядности удобно в исследуемой функции заменить исходный параметр

$a=-2x_0$

на проекцию вершины параболы

$f(x)=4(x-x_0)^2+2(1+2x_0).$

1) Если

$x_0\le -3,$

то минимальное значение параболы на заданном условием задачи множестве достигается в левой точке левого интервала, так как в этом случае на заданных интервалах расположена возрастающая ветвь параболы, что приводит к решению неравенства

$f(-3)=4(-3-x_0)^2+2(1+2x_0)\ge 6$

на рассматриваемом промежутке. Вычисление решения данного неравенства

$(x_0+3)^2+x_0\ge 1$

приводит к неравенству с квадратичным трехчленом

$x_0^2+7x_0+8\ge 0$

с корнями

$x_{01}=-\frac{7+\sqrt{17}}{2},$

$x_{01}=-\frac{7-\sqrt{17}}{2},$

показывающими, что минимальное значение рассматриваемой функции не меньше 6 на интервалах

$x_0\le x_{01}, x_0\ge x_{02}.$

Тогда пересечение множества проекций вершин параболы, при которых рассматриваются значения функции, с указанным в последних неравенствах, приводит к непустому множеству

$x_0\le x_{01}.$

2) На следующем слева интервале

$-3\le x_0\le-1$

минимальное значение функция принимает в точке локального минимума, и оно также должно удовлетворять неравенству

$f(x_0)=2(1+2x_0)\ge 6,$

которое выполняется лишь при условии

$x_0\ge 1,$

показывающему, что на рассматриваемом интервале оно не может быть выполнено.

3) Так как очередной интервал

$-1\le x_0\le 1,$

не входит в заданную область, то минимум на заданном множестве достигается на концах его отрезков, а именно: на правом конце левого отрезка, поскольку левая ветвь представляет собой убывающую функцию, или на левом конце правого отрезка, поскольку правая ветвь ее представляет возрастающую функцию, т.е., другими словами, должно выполняться неравенство

$\min{(f(-1),f(1))}\ge 6.$

Так как

$f(-1)=4(1+x_0)^2+2(1+2x_0),$

$f(1)=4(1-x_0)^2+2(1+2x_0),$

то, выполняя вычитание

$f(-1)-f(1)=16x_0$

становится очевидно, что

$\min{(f(-1),f(1))}=\begin{cases}f(-1), x_0\le 0,\\f(1),x_0\ge 0\end{cases}$

очередной интервал следует разделить на две части.

На первой части

$-1\le x_0\le 0$

должно выполняться неравенство

$f(-1)=4x_0^2+12x_0+6\ge6,$

которое выполняется

$x_0^2+3x_0\ge 0,$

лишь при условии

$x_0\le-3, x_0\ge 0,$

показывающем совместимость с первой частью интервала лишь в точке

$x_0=0.$

Аналогичный анализ минимального значения функции на второй части интервала

$0\le x_0\le 1$

с требованием

$f(1)=6-4x_0+4x_0^2\ge 6$

приводит к решению на этом интервале неравенства

$x_0(x_0-1)\ge 0,$

которое справедливо при условии

$x_0\le 0, x_0\ge1,$

и выводу, что к искомому решению следует причислить и точку

$x_0=1.$

4)Следующий интервал

$1|le x_0\le 3,$

также как и второй интервал принадлежит заданной условием задачи области, где анализируется минимальное значение функции. Поэтому сразу составляется неравенство

$2(1+2x_0)\ge 6$

и вычисляется его решение

$x_0\ge 1,$

подтверждающее включение всего интервала в искомое решение задачи, включая в него и ранее найденную концевую точку.

5)Если проекцию вершины параболы поместить в последний интервал

$3\le x_0,$

то минимальное значение функции будет достигаться на правом конце правого заданного условием задачи интервала, так как все концевые точки лежат на нисходящей ветви параболы, вследствие чего возникает неравенство

$f(3)=38-20x_0+4x_0^2\ge 6,$